ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

2) \(y = (x+2)^3\)

3) \(y = -x^3\)

4) \(y = x^4 — 4\)

5) \(y = (x-1)^4\)

6) \(y = -\frac{1}{2}x^4\)

1) \(y = x^{3} — 1\)
— Построить базовый график \(y = x^{3}\).
— Перенести его на \(1\) единицу вниз: \(y = x^{3} \;\to\; y = x^{3}-1\).

Эффект: каждая точка \((x, y)\) переходит в \((x, y-1)\). Точка перегиба смещается из \((0,0)\) в \((0,-1)\).

2) \(y = (x + 2)^{3}\)
— Построить \(y = x^{3}\).
— Перенести на \(2\) единицы влево: \(x \to x+2\).

Эффект: каждая точка \((x, y)\) переходит в \((x-2, y)\). Точка перегиба из \((0,0)\) смещается в \((-2,0)\).

3) \(y = -x^{3}\)
— Построить \(y = x^{3}\).
— Отразить относительно оси абсцисс (вертикальная симметрия): \(y \to -y\).

Эффект: каждая точка \((x, y)\) заменяется на \((x, -y)\). Точка перегиба остаётся в \((0,0)\), направление «ветвей» меняется.

4) \(y = x^{4} — 4\)
— Построить базовый график \(y = x^{4}\) (чётная параболоидная кривая, «чашеобразная»).
— Перенести на \(4\) единицы вниз: \(y = x^{4} \;\to\; y = x^{4}-4\).

Эффект: вершина смещается из \((0,0)\) в \((0,-4)\); ось симметрии остаётся \(x=0\).

5) \(y = (x — 1)^{4}\)
— Построить \(y = x^{4}\).
— Перенести на \(1\) единицу вправо: \(x \to x-1\).

Эффект: вершина из \((0,0)\) смещается в \((1,0)\); форма и растяжение сохраняются, ось симметрии становится \(x=1\).

6) \(y = -\frac{1}{2}\,x^{4}\)
— Построить \(y = x^{4}\).
— Отразить относительно оси абсцисс: \(y \to -y\) (получаем \(y = -x^{4}\)).
— Вертикально сжать в \(2\) раза (масштаб по \(y\) умножить на \(\frac12\)): \(y = -x^{4} \to y = -\frac12 x^{4}\).

Эффект: график «открыт вниз», вершина в \((0,0)\); по сравнению с \(y=-x^{4}\) кривая более «пологая» (меньший модуль значений \(y\)).

1) \(y = x^{3} — 1\)
Начнём с построения стандартного кубического графика \(y = x^{3}\), который имеет точку перегиба в начале координат \((0,0)\) и симметричен относительно этой точки. Прибавление числа \(-1\) к функции означает вертикальный сдвиг графика вниз на одну единицу. Таким образом, каждая точка исходного графика \((x, y)\) преобразуется в точку \((x, y-1)\). Это приводит к тому, что точка перегиба, которая в исходной функции находилась в начале координат, теперь располагается в точке \((0,-1)\). Общая форма графика сохраняется: он продолжает проходить через ось абсцисс, но все значения функции уменьшены на 1. Ветви остаются направленными вверх и вниз, но график как бы «осел» ниже оси абсцисс.

2) \(y = (x + 2)^{3}\)
Исходный график — это кубическая функция \(y = x^{3}\). При замене \(x\) на \(x+2\) происходит горизонтальный сдвиг влево на 2 единицы. Это связано с тем, что при \(x=-2\) выражение \((x+2)^{3}\) становится равным нулю, следовательно, точка перегиба, которая раньше находилась в начале координат, теперь переместилась в точку \((-2,0)\). Таким образом, весь график как бы «сдвинулся» влево: если исходный график имел точку перегиба в \((0,0)\), теперь она располагается в \((-2,0)\). Форма кривой осталась такой же: одна ветвь уходит в третью четверть, другая — в первую, но всё смещено относительно осей координат.

3) \(y = -x^{3}\)
Функция \(y = x^{3}\) обладает нечётной симметрией и проходит через начало координат. Множитель «минус» перед выражением меняет знак всех значений функции, то есть реализует симметрию относительно оси абсцисс. Каждая точка \((x,y)\) исходного графика переходит в \((x,-y)\). В результате график переворачивается: если исходная функция возрастала из третьей четверти в первую, то теперь она убывает из второй четверти в четвёртую. При этом точка перегиба остаётся той же — в начале координат \((0,0)\). Таким образом, получаем зеркальное отображение кубической кривой относительно оси \(Ox\).

4) \(y = x^{4} — 4\)
Базовый график \(y = x^{4}\) — это чётная функция, имеющая U-образную форму (более «плоскую» у вершины по сравнению с параболой \(y = x^{2}\)). Его вершина находится в начале координат \((0,0)\), а ось симметрии — ось ординат. При вычитании числа 4 график смещается вниз на 4 единицы. Каждая точка \((x,y)\) переходит в \((x,y-4)\). Теперь вершина графика располагается в точке \((0,-4)\). Ветви кривой по-прежнему открыты вверх, но ось симметрии осталась прежней — \(x=0\). График имеет вид той же U-образной кривой, только опущенной ниже.

5) \(y = (x — 1)^{4}\)
Рассмотрим график \(y = x^{4}\). При замене \(x\) на \((x-1)\) происходит горизонтальный сдвиг вправо на 1 единицу. Это можно объяснить тем, что при \(x=1\) значение функции становится нулевым: \((1-1)^{4} = 0\). Следовательно, вершина графика, которая ранее находилась в точке \((0,0)\), теперь переместилась в точку \((1,0)\). Ось симметрии также сместилась: теперь она проходит через \(x=1\). При этом форма графика сохраняется — это всё та же четвёртая степень с «чашеобразным» видом, симметричная относительно вертикальной прямой, но сдвинутая по оси \(Ox\).

6) \(y = -\frac{1}{2}x^{4}\)
Начнём с построения функции \(y = x^{4}\). Этот график представляет собой U-образную кривую с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Минус перед функцией означает отражение графика относительно оси абсцисс: теперь ветви будут направлены вниз, а вершина останется в начале координат. Далее множитель \(\frac{1}{2}\) перед функцией изменяет масштаб по вертикали: значения функции уменьшаются в 2 раза. Это означает, что график становится «плоским» или более «растянутым» вдоль оси \(Ox\). В результате мы получаем перевёрнутый график \(y = x^{4}\), растянутый в стороны и расположенный так, что его вершина остаётся в точке \((0,0)\), но кривизна менее резкая.