ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько корней в зависимости от значения \(a\) имеет уравнение \(x^8 = 9a — a^3\)?

Сколько корней в зависимости от значения \(a\) имеет уравнение:

\(x^8 = 9a — a^3\);

Правая часть положительна, если:

\(9a — a^3 > 0;\)

\(-a(a^2 — 9) > 0;\)

\(a(a^2 — 9) < 0;\)

\((a + 3)a(a — 3) < 0;\)

\(a < -3\) или \(0 < a < 3\);

Ответ: два корня, если \(a \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)\);

один корень, если \(a \in \{-3; 0; 3\}\);

нет корней, если \(a \in (-3; 0) \cup (3; +\infty)\).

Рассмотрим уравнение:

\(x^8 = 9a — a^3\).

Так как левая часть уравнения \(x^8\) всегда неотрицательна для любых действительных \(x\), правая часть \(9a — a^3\) также должна быть неотрицательной. Поэтому условие существования корней задаётся неравенством:

\(9a — a^3 \geq 0.\)

Вынесем общий множитель:

\(-a(a^2 — 9) \geq 0.\)

Это эквивалентно условию:

\(a(a^2 — 9) \leq 0.\)

Разложим квадратный трёхчлен:

\((a + 3)(a — 3) \leq 0.\)

Анализ интервалов:

— при \(a < -3\): множители \(a\) отрицателен, \((a+3)\) отрицателен, \((a-3)\) отрицателен, значит произведение \(a(a^2-9)\) отрицательно, условие выполняется;
— при \(-3 < a < 0\): \(a\) отрицателен, \((a+3)\) положителен, \((a-3)\) отрицателен, произведение положительное, условие не выполняется;
— при \(0 < a < 3\): \(a\) положителен, \((a+3)\) положителен, \((a-3)\) отрицателен, произведение отрицательное, условие выполняется;
— при \(a > 3\): все множители положительные, произведение положительное, условие не выполняется.

Кроме того, на границах \(a = -3, 0, 3\) правая часть равна нулю, и тогда уравнение имеет единственный корень \(x = 0\).

Определим количество корней:

— если \(a \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)\), то \(9a — a^3 > 0\), и уравнение имеет два корня:
\[
x = \pm \sqrt[8]{9a — a^3};
\]

— если \(a \in \{-3, 0, 3\}\), то \(9a — a^3 = 0\), и уравнение имеет один корень:
\[
x = 0;
\]

— если \(a \in (-3; 0) \cup (3; +\infty)\), то \(9a — a^3 < 0\), и действительных корней нет.

Окончательный вывод:

— два корня, если \(a \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)\);
— один корень, если \(a \in \{-3, 0, 3\}\);
— нет корней, если \(a \in (-3; 0) \cup (3; +\infty)\).