Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Сколько корней в зависимости от значения \(a\) имеет уравнение \(x^8 = 9a — a^3\)?
Сколько корней в зависимости от значения \(a\) имеет уравнение:
\(x^8 = 9a — a^3\);
Правая часть положительна, если:
\(9a — a^3 > 0;\)
\(-a(a^2 — 9) > 0;\)
\(a(a^2 — 9) < 0;\)
\((a + 3)a(a — 3) < 0;\)
\(a < -3\) или \(0 < a < 3\);
Ответ: два корня, если \(a \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)\);
один корень, если \(a \in \{-3; 0; 3\}\);
нет корней, если \(a \in (-3; 0) \cup (3; +\infty)\).
Рассмотрим уравнение:
\(x^8 = 9a — a^3\).
Так как левая часть уравнения \(x^8\) всегда неотрицательна для любых действительных \(x\), правая часть \(9a — a^3\) также должна быть неотрицательной. Поэтому условие существования корней задаётся неравенством:
\(9a — a^3 \geq 0.\)
Вынесем общий множитель:
\(-a(a^2 — 9) \geq 0.\)
Это эквивалентно условию:
\(a(a^2 — 9) \leq 0.\)
Разложим квадратный трёхчлен:
\((a + 3)(a — 3) \leq 0.\)
Анализ интервалов:
— при \(a < -3\): множители \(a\) отрицателен, \((a+3)\) отрицателен, \((a-3)\) отрицателен, значит произведение \(a(a^2-9)\) отрицательно, условие выполняется;
— при \(-3 < a < 0\): \(a\) отрицателен, \((a+3)\) положителен, \((a-3)\) отрицателен, произведение положительное, условие не выполняется;
— при \(0 < a < 3\): \(a\) положителен, \((a+3)\) положителен, \((a-3)\) отрицателен, произведение отрицательное, условие выполняется;
— при \(a > 3\): все множители положительные, произведение положительное, условие не выполняется.
Кроме того, на границах \(a = -3, 0, 3\) правая часть равна нулю, и тогда уравнение имеет единственный корень \(x = 0\).
Определим количество корней:
— если \(a \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)\), то \(9a — a^3 > 0\), и уравнение имеет два корня:
\[
x = \pm \sqrt[8]{9a — a^3};
\]
— если \(a \in \{-3, 0, 3\}\), то \(9a — a^3 = 0\), и уравнение имеет один корень:
\[
x = 0;
\]
— если \(a \in (-3; 0) \cup (3; +\infty)\), то \(9a — a^3 < 0\), и действительных корней нет.
Окончательный вывод:
— два корня, если \(a \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)\);
— один корень, если \(a \in \{-3, 0, 3\}\);
— нет корней, если \(a \in (-3; 0) \cup (3; +\infty)\).
