ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(x^{5} = 32\);

2) \(x^{3} = -\frac{8}{27}\).

3) \(x^{4} = 81\);

4) \(x^{4} = -16\).

1) \(x^{5} = 32\):
Представим число \(32\) в виде степени числа \(2\): \(32 = 2^{5}\). Тогда \(x^{5} = 2^{5}\), откуда следует \(x = 2\), так как функция \(x^{5}\) строго возрастает и имеет единственный действительный корень.
Вывод: \(x = 2\).

2) \(x^{3} = -\frac{8}{27}\):
Разложим правую часть: \(-\frac{8}{27} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{3}\). Так как кубический корень из отрицательного числа также отрицателен, имеем \(x = -\frac{2}{3}\).
Вывод: \(x = -\frac{2}{3}\).

3) \(x^{4} = 81\):
Преобразуем \(81 = 3^{4}\). Получаем \(x^{4} = 3^{4}\), следовательно, \(x = \pm 3\), так как четная степень даёт два действительных корня — положительный и отрицательный.
Вывод: \(x = -3,\; 3\).

4) \(x^{4} = -16\):
Четная степень любого действительного числа всегда неотрицательна (\(x^{4} \ge 0\)), а правая часть \(-16\) — отрицательна, поэтому действительных решений нет.
Вывод: решений в \(\mathbb{R}\) нет.

1) \(x^{5} = 32\)

Представим правую часть как степень двойки: \(32 = 2^{5}\). Тогда
\(x^{5} = 2^{5}\).

Извлекаем корень пятой степени из обеих частей (операция, обратная возведению в 5-ю степень):

\(
x = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2
\).

Проверка: \(2^{5} = 32\) — верно.

Ответ: \(x = 2\).

2) \(x^{3} = -\frac{8}{27}\)

Запишем дробь как отношение кубов: \(-\frac{8}{27} = \frac{(-2)^{3}}{3^{3}}\). Тогда
\(x^{3} = \frac{(-2)^{3}}{3^{3}}\).

Извлекаем кубический корень (в \(\mathbb{R}\) кубический корень из отрицательного числа определён и отрицателен):

\(
x = \sqrt[3]{\frac{(-2)^{3}}{3^{3}}}
= \frac{\sqrt[3]{(-2)^{3}}}{\sqrt[3]{3^{3}}}
= \frac{-2}{3}
= -\frac{2}{3}
\).

Проверка: \(\left(-\frac{2}{3}\right)^{3} = -\frac{8}{27}\) — верно.

Ответ: \(x = -\frac{2}{3}\).

3) \(x^{4} = 81\)

Представим \(81\) как степень: \(81 = 3^{4}\). Тогда \(x^{4} = 3^{4}\).

Извлекая корень четвёртой степени, учитываем два действительных корня (положительный и отрицательный):

\(
x = \pm \sqrt[4]{81} = \pm \sqrt[4]{3^{4}} = \pm 3
\).

Проверка: \(3^{4} = 81\), \((-3)^{4} = 81\).

Ответ: \(x = -3,\; 3\).

4) \(x^{4} = -16\)

Левая часть \(x^{4}\) для любого действительного \(x\) неотрицательна: \(x^{4} \ge 0\). Правая часть равна \(-16 < 0\),
следовательно, противоречие в \(\mathbb{R}\).

\(
\text{В действительных числах решений нет.}
\)

(Замечание: в комплексных числах решения существуют и равны \(x = 2\,\mathrm{i}\) и \(x = -2\,\mathrm{i}\) с учётом всех четвёртых корней \(-16\), но в рамках \(\mathbb{R}\) корней нет.)

Ответ: решений в \(\mathbb{R}\) нет.