Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \(x^{5} = 32\);
2) \(x^{3} = -\frac{8}{27}\).
3) \(x^{4} = 81\);
4) \(x^{4} = -16\).
1) \(x^{5} = 32\):
Представим число \(32\) в виде степени числа \(2\): \(32 = 2^{5}\). Тогда \(x^{5} = 2^{5}\), откуда следует \(x = 2\), так как функция \(x^{5}\) строго возрастает и имеет единственный действительный корень.
Вывод: \(x = 2\).
2) \(x^{3} = -\frac{8}{27}\):
Разложим правую часть: \(-\frac{8}{27} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{3}\). Так как кубический корень из отрицательного числа также отрицателен, имеем \(x = -\frac{2}{3}\).
Вывод: \(x = -\frac{2}{3}\).
3) \(x^{4} = 81\):
Преобразуем \(81 = 3^{4}\). Получаем \(x^{4} = 3^{4}\), следовательно, \(x = \pm 3\), так как четная степень даёт два действительных корня — положительный и отрицательный.
Вывод: \(x = -3,\; 3\).
4) \(x^{4} = -16\):
Четная степень любого действительного числа всегда неотрицательна (\(x^{4} \ge 0\)), а правая часть \(-16\) — отрицательна, поэтому действительных решений нет.
Вывод: решений в \(\mathbb{R}\) нет.
1) \(x^{5} = 32\)
Представим правую часть как степень двойки: \(32 = 2^{5}\). Тогда
\(x^{5} = 2^{5}\).
Извлекаем корень пятой степени из обеих частей (операция, обратная возведению в 5-ю степень):
\(
x = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2
\).
Проверка: \(2^{5} = 32\) — верно.
Ответ: \(x = 2\).
2) \(x^{3} = -\frac{8}{27}\)
Запишем дробь как отношение кубов: \(-\frac{8}{27} = \frac{(-2)^{3}}{3^{3}}\). Тогда
\(x^{3} = \frac{(-2)^{3}}{3^{3}}\).
Извлекаем кубический корень (в \(\mathbb{R}\) кубический корень из отрицательного числа определён и отрицателен):
\(
x = \sqrt[3]{\frac{(-2)^{3}}{3^{3}}}
= \frac{\sqrt[3]{(-2)^{3}}}{\sqrt[3]{3^{3}}}
= \frac{-2}{3}
= -\frac{2}{3}
\).
Проверка: \(\left(-\frac{2}{3}\right)^{3} = -\frac{8}{27}\) — верно.
Ответ: \(x = -\frac{2}{3}\).
3) \(x^{4} = 81\)
Представим \(81\) как степень: \(81 = 3^{4}\). Тогда \(x^{4} = 3^{4}\).
Извлекая корень четвёртой степени, учитываем два действительных корня (положительный и отрицательный):
\(
x = \pm \sqrt[4]{81} = \pm \sqrt[4]{3^{4}} = \pm 3
\).
Проверка: \(3^{4} = 81\), \((-3)^{4} = 81\).
Ответ: \(x = -3,\; 3\).
4) \(x^{4} = -16\)
Левая часть \(x^{4}\) для любого действительного \(x\) неотрицательна: \(x^{4} \ge 0\). Правая часть равна \(-16 < 0\),
следовательно, противоречие в \(\mathbb{R}\).
\(
\text{В действительных числах решений нет.}
\)
(Замечание: в комплексных числах решения существуют и равны \(x = 2\,\mathrm{i}\) и \(x = -2\,\mathrm{i}\) с учётом всех четвёртых корней \(-16\), но в рамках \(\mathbb{R}\) корней нет.)
Ответ: решений в \(\mathbb{R}\) нет.
