ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(x^{3} = -27\)

2) \(x^{5} = 0{,}00032\)

3) \(x^{6} = 64\)

4) \(x^{8} = -1\)

1) \(x^{3} = -27\)

Представим \(-27\) как куб числа \(-3\): \(-27 = (-3)^{3}\).

Тогда, извлекая кубический корень:
\[
x = \sqrt[3]{-27} = -3
\]
Проверка: \((-3)^{3} = -27\), верно.

Ответ: \(-3\).

2) \(x^{5} = 0{,}00032\)

Запишем \(0{,}00032\) в виде обыкновенной дроби:
\[
0{,}00032 = \frac{32}{100000}
\]
Поскольку \(32 = 2^{5}\), получаем:
\[
0{,}00032 = \frac{2^{5}}{10^{5}} = \left(\frac{2}{10}\right)^{5}
\]
Тогда:
\[
x = \sqrt[5]{\left(\frac{2}{10}\right)^{5}} = \frac{2}{10} = 0{,}2
\]
Проверка: \((0{,}2)^{5} = 0{,}00032\).

Ответ: \(0{,}2\).

3) \(x^{6} = 64\)

Число \(64\) запишем как \(2^{6}\):
\[
x^{6} = 2^{6}
\]
Извлекая корень шестой степени (степень чётная), получаем два значения:
\[
x = \pm \sqrt[6]{2^{6}} = \pm 2
\]
Проверка: \(2^{6} = 64\), \((-2)^{6} = 64\).

Ответ: \(-2,\; 2\).

4) \(x^{8} = -1\)

Вещественная степень с чётным показателем всегда неотрицательна:
\[
x^{8} \ge 0
\]
Так как \(-1 < 0\), уравнение не имеет решений в \(\mathbb{R}\).

Ответ: корней в \(\mathbb{R}\) нет.

1) \(x^{3} = -27\):

Представим \(-27\) в виде степени числа \(-3\):
\[
-27 = (-3)^{3}
\]
Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:
\[
x = \sqrt[3]{-27} = -\sqrt[3]{3^{3}} = -3
\]
Проверка:
\[
(-3)^{3} = -27
\]
Выражение верно.

Вывод: \(x = -3\).

2) \(x^{5} = 0{,}00032\):

Запишем число в виде дроби:
\[
0{,}00032 = \frac{32}{100000}
\]
Разложим \(32\) как \(2^{5}\), а \(100000\) как \(10^{5}\):
\[
\frac{32}{100000} = \frac{2^{5}}{10^{5}} = \left(\frac{2}{10}\right)^{5}
\]
Извлекая корень пятой степени, получаем:
\[
x = \sqrt[5]{\left(\frac{2}{10}\right)^{5}} = \frac{2}{10} = 0{,}2
\]
Проверка:
\[
(0{,}2)^{5} = \frac{2^{5}}{10^{5}} = \frac{32}{100000} = 0{,}00032
\]
Верно.

Вывод: \(x = 0{,}2\).

3) \(x^{6} = 64\):

Представим \(64\) как \(2^{6}\):
\[
x^{6} = 2^{6}
\]
Извлекая корень шестой степени (степень чётная), получаем два решения:
\[
x = \pm \sqrt[6]{2^{6}} = \pm 2
\]
Проверка:
\[
(2)^{6} = 64,\quad (-2)^{6} = 64
\]
В обоих случаях верно.

Вывод: \(x = -2,\; x = 2\).

4) \(x^{8} = -1\):

При чётной степени \(x^{8} \ge 0\) для любых вещественных \(x\).

Так как \(-1 < 0\), уравнение не имеет решений в множестве \(\mathbb{R}\).

Вывод: решений в \(\mathbb{R}\) нет.