Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Постройте график функции:
1) \(y=x^{-2}+2\);
2) \(y=(x-3)^{-2}\);
3) \(y=-\frac{1}{2}x^{-2}\);
4) \(y=x^{-3}-1\);
5) \(y=(x-1)^{-3}\);
6) \(y=3x^{-3}\).
Построить график функции:
1) \( y = x^{-2} + 2 = \frac{1}{x^{2}} + 2 \);
Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);
Переместим его на 2 единицы вверх:
2) \( y = (x — 3)^{-2} = \frac{1}{(x — 3)^{2}} \);
Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);
Переместим его на 3 единицы вправо:
3) \( y = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^{2}} \);
Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);
Отразим его относительно оси абсцисс;
Сожмем его в 2 раза к оси ординат:
4) \( y = x^{-3} — 1 = \frac{1}{x^{3}} — 1 \);
Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);
Переместим его на 1 единицу вниз:
5) \( y = (x — 1)^{-3} = \frac{1}{(x — 1)^{3}} \);
Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);
Переместим его на 1 единицу вправо:
6) \( y = 3x^{-3} = \frac{3}{x^{3}} \);
Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);
Растянем его в 3 раза от оси абсцисс:
Построить график функции:
1) \( y = x^{-2} + 2 = \frac{1}{x^{2}} + 2 \);
Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);
График функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \) представляет собой гиперболу, у которой обе ветви расположены в верхней полуплоскости, так как значения функции всегда положительные. При больших значениях \( |x| \) график приближается к оси абсцисс (y = 0), а при \( x \to 0 \) значения функции стремятся к \( +\infty \).
Шаг 2: Переместим его на 2 единицы вверх:
Прибавив 2, получаем вертикальный сдвиг. Теперь горизонтальная асимптота графика сместилась с \( y = 0 \) на \( y = 2 \). Все точки графика поднялись на 2 единицы вверх.
График функции:
2) \( y = (x — 3)^{-2} = \frac{1}{(x — 3)^{2}} \);
Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);
Это базовая гипербола, как и в первом примере, только без вертикального сдвига.
Шаг 2: Переместим его на 3 единицы вправо:
Подстановка \( x \to (x — 3) \) приводит к смещению всей гиперболы вправо на 3 единицы. Теперь вертикальная асимптота будет в точке \( x = 3 \).
График функции:
3) \( y = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^{2}} \);
Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);
Это положительная гипербола.
Шаг 2: Отразим его относительно оси абсцисс:
Из-за отрицательного коэффициента график уходит в нижнюю полуплоскость, значения функции становятся отрицательными.
Шаг 3: Сожмем его в 2 раза к оси ординат:
Множитель \( \frac{1}{2} \) уменьшает значения функции вдвое. Ветви графика приближаются к оси абсцисс, но сохраняют ту же форму.
График функции:
4) \( y = x^{-3} — 1 = \frac{1}{x^{3}} — 1 \);
Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);
График состоит из двух ветвей: в первой и третьей четвертях координатной плоскости. Он симметричен относительно начала координат.
Шаг 2: Переместим его на 1 единицу вниз:
Вычитание 1 смещает горизонтальную асимптоту вниз: вместо \( y = 0 \) она станет \( y = -1 \).
График функции:
5) \( y = (x — 1)^{-3} = \frac{1}{(x — 1)^{3}} \);
Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);
Как и в предыдущем случае, график симметричен относительно начала координат, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях.
Шаг 2: Переместим его на 1 единицу вправо:
Подстановка \( x \to (x — 1) \) смещает весь график вправо. Вертикальная асимптота теперь в точке \( x = 1 \).
График функции:
6) \( y = 3x^{-3} = \frac{3}{x^{3}} \);
Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);
Базовый график имеет две ветви в 1-й и 3-й четвертях.
Шаг 2: Растянем его в 3 раза от оси абсцисс:
Множитель 3 увеличивает все значения функции в 3 раза. Ветви графика становятся более крутыми и удаляются от оси x.
График функции:
