ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y=x^{-2}+2\);

2) \(y=(x-3)^{-2}\);

3) \(y=-\frac{1}{2}x^{-2}\);

4) \(y=x^{-3}-1\);

5) \(y=(x-1)^{-3}\);

6) \(y=3x^{-3}\).

Построить график функции:

1) \( y = x^{-2} + 2 = \frac{1}{x^{2}} + 2 \);

Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);

Переместим его на 2 единицы вверх:

2) \( y = (x — 3)^{-2} = \frac{1}{(x — 3)^{2}} \);

Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);

Переместим его на 3 единицы вправо:

3) \( y = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^{2}} \);

Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);

Отразим его относительно оси абсцисс;

Сожмем его в 2 раза к оси ординат:

4) \( y = x^{-3} — 1 = \frac{1}{x^{3}} — 1 \);

Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);

Переместим его на 1 единицу вниз:

5) \( y = (x — 1)^{-3} = \frac{1}{(x — 1)^{3}} \);

Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);

Переместим его на 1 единицу вправо:

6) \( y = 3x^{-3} = \frac{3}{x^{3}} \);

Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);

Растянем его в 3 раза от оси абсцисс:

Построить график функции:

1) \( y = x^{-2} + 2 = \frac{1}{x^{2}} + 2 \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);

График функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \) представляет собой гиперболу, у которой обе ветви расположены в верхней полуплоскости, так как значения функции всегда положительные. При больших значениях \( |x| \) график приближается к оси абсцисс (y = 0), а при \( x \to 0 \) значения функции стремятся к \( +\infty \).

Шаг 2: Переместим его на 2 единицы вверх:

Прибавив 2, получаем вертикальный сдвиг. Теперь горизонтальная асимптота графика сместилась с \( y = 0 \) на \( y = 2 \). Все точки графика поднялись на 2 единицы вверх.

График функции:

2) \( y = (x — 3)^{-2} = \frac{1}{(x — 3)^{2}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);

Это базовая гипербола, как и в первом примере, только без вертикального сдвига.

Шаг 2: Переместим его на 3 единицы вправо:

Подстановка \( x \to (x — 3) \) приводит к смещению всей гиперболы вправо на 3 единицы. Теперь вертикальная асимптота будет в точке \( x = 3 \).

График функции:

3) \( y = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^{2}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{2}} \);

Это положительная гипербола.

Шаг 2: Отразим его относительно оси абсцисс:

Из-за отрицательного коэффициента график уходит в нижнюю полуплоскость, значения функции становятся отрицательными.

Шаг 3: Сожмем его в 2 раза к оси ординат:

Множитель \( \frac{1}{2} \) уменьшает значения функции вдвое. Ветви графика приближаются к оси абсцисс, но сохраняют ту же форму.

График функции:

4) \( y = x^{-3} — 1 = \frac{1}{x^{3}} — 1 \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);

График состоит из двух ветвей: в первой и третьей четвертях координатной плоскости. Он симметричен относительно начала координат.

Шаг 2: Переместим его на 1 единицу вниз:

Вычитание 1 смещает горизонтальную асимптоту вниз: вместо \( y = 0 \) она станет \( y = -1 \).

График функции:

5) \( y = (x — 1)^{-3} = \frac{1}{(x — 1)^{3}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);

Как и в предыдущем случае, график симметричен относительно начала координат, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях.

Шаг 2: Переместим его на 1 единицу вправо:

Подстановка \( x \to (x — 1) \) смещает весь график вправо. Вертикальная асимптота теперь в точке \( x = 1 \).

График функции:

6) \( y = 3x^{-3} = \frac{3}{x^{3}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{3}} \);

Базовый график имеет две ветви в 1-й и 3-й четвертях.

Шаг 2: Растянем его в 3 раза от оси абсцисс:

Множитель 3 увеличивает все значения функции в 3 раза. Ветви графика становятся более крутыми и удаляются от оси x.

График функции: