Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=x^{-6}\) на промежутке:
1) \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\);
2) \(\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]\);
3) \(\left[1;\ +\infty\right)\).
Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^{-6} \):
Данная функция имеет следующие свойства:
— показатель степени чётный, поэтому \( f(x) \) является чётной функцией (\( f(-x) = f(x) \));
— при \( x_0 = 0 \) возникает вертикальная асимптота, так как знаменатель обращается в ноль;
— функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и убывает на промежутке \( [0; +\infty) \).
1) На промежутке \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \):
Вычислим значения на концах:
\( f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64 \);
\( f(1) = 1^{-6} = 1 \).
Так как функция убывает на \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \), то
\(\max f(x) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 64,\)
\(\min f(x) = f(1) = 1.\)
2) На промежутке \( \left[-1; -\frac{1}{2}\right] \):
Функция чётная, следовательно, значения совпадают с первым случаем:
\( f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64 \);
\( f(-1) = (-1)^{-6} = 1 \).
Таким образом:
\(\max f(x) = f\left(-\frac{1}{2}\right) = 64,\)
\(\min f(x) = f(-1) = 1.\)
3) На промежутке \( [1; +\infty) \):
При \( x=1 \): \( f(1) = 1 \).
При \( x \to +\infty \): \( f(x) = x^{-6} \to 0 \).
Так как функция убывает, то
\(\max f(x) = f(1) = 1,\)
\(\min f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.\)
Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^{-6} \):
Данная функция обладает следующими свойствами:
— показатель степени равен \(-6\), он чётный, поэтому функция чётная, то есть \( f(-x) = f(x) \), и график симметричен относительно оси \( y \);
— имеет вертикальную асимптоту \( x = 0 \), так как при \( x \to 0^+ \) и \( x \to 0^- \) значения \( f(x) \to +\infty \);
— возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и убывает на промежутке \( [0; +\infty) \).
1) На промежутке \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \):
Подставим концы отрезка:
\( f\!\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64 \);
\( f(1) = 1^{-6} = 1 \).
Так как функция убывает на \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \), то:
\(\max f(x) = 64,\ \min f(x) = 1\).
2) На промежутке \( \left[-1; -\frac{1}{2}\right] \):
Благодаря чётности функции:
\( f\!\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64 \);
\( f(-1) = (-1)^{-6} = 1 \).
Следовательно:
\(\max f(x) = 64,\ \min f(x) = 1\).
3) На промежутке \( [1; +\infty) \):
При \( x=1 \): \( f(1) = 1 \).
При \( x \to +\infty \): \( f(x) = x^{-6} \to 0 \).
Так как функция убывает, то:
\(\max f(x) = 1,\ \min f(x) = 0\) (минимум достигается только в пределе при \( x \to +\infty \)).
Вывод:
На промежутке \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \): наибольшее значение \( 64 \), наименьшее значение \( 1 \).
На промежутке \( \left[-1; -\frac{1}{2}\right] \): наибольшее значение \( 64 \), наименьшее значение \( 1 \).
На промежутке \( [1; +\infty) \): наибольшее значение \( 1 \), наименьшее значение \( 0 \).
