ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=x^{-6}\) на промежутке:

1) \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\);

2) \(\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]\);

3) \(\left[1;\ +\infty\right)\).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^{-6} \):

Данная функция имеет следующие свойства:
— показатель степени чётный, поэтому \( f(x) \) является чётной функцией (\( f(-x) = f(x) \));
— при \( x_0 = 0 \) возникает вертикальная асимптота, так как знаменатель обращается в ноль;
— функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и убывает на промежутке \( [0; +\infty) \).

1) На промежутке \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \):

Вычислим значения на концах:
\( f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64 \);
\( f(1) = 1^{-6} = 1 \).

Так как функция убывает на \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \), то
\(\max f(x) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 64,\)
\(\min f(x) = f(1) = 1.\)

2) На промежутке \( \left[-1; -\frac{1}{2}\right] \):

Функция чётная, следовательно, значения совпадают с первым случаем:
\( f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64 \);
\( f(-1) = (-1)^{-6} = 1 \).

Таким образом:
\(\max f(x) = f\left(-\frac{1}{2}\right) = 64,\)
\(\min f(x) = f(-1) = 1.\)

3) На промежутке \( [1; +\infty) \):

При \( x=1 \): \( f(1) = 1 \).
При \( x \to +\infty \): \( f(x) = x^{-6} \to 0 \).

Так как функция убывает, то
\(\max f(x) = f(1) = 1,\)
\(\min f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.\)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^{-6} \):

Данная функция обладает следующими свойствами:
— показатель степени равен \(-6\), он чётный, поэтому функция чётная, то есть \( f(-x) = f(x) \), и график симметричен относительно оси \( y \);
— имеет вертикальную асимптоту \( x = 0 \), так как при \( x \to 0^+ \) и \( x \to 0^- \) значения \( f(x) \to +\infty \);
— возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и убывает на промежутке \( [0; +\infty) \).

1) На промежутке \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \):

Подставим концы отрезка:
\( f\!\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64 \);
\( f(1) = 1^{-6} = 1 \).

Так как функция убывает на \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \), то:
\(\max f(x) = 64,\ \min f(x) = 1\).

2) На промежутке \( \left[-1; -\frac{1}{2}\right] \):

Благодаря чётности функции:
\( f\!\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64 \);
\( f(-1) = (-1)^{-6} = 1 \).

Следовательно:
\(\max f(x) = 64,\ \min f(x) = 1\).

3) На промежутке \( [1; +\infty) \):

При \( x=1 \): \( f(1) = 1 \).
При \( x \to +\infty \): \( f(x) = x^{-6} \to 0 \).

Так как функция убывает, то:
\(\max f(x) = 1,\ \min f(x) = 0\) (минимум достигается только в пределе при \( x \to +\infty \)).

Вывод:
На промежутке \( \left[\frac{1}{2}; 1\right] \): наибольшее значение \( 64 \), наименьшее значение \( 1 \).
На промежутке \( \left[-1; -\frac{1}{2}\right] \): наибольшее значение \( 64 \), наименьшее значение \( 1 \).
На промежутке \( [1; +\infty) \): наибольшее значение \( 1 \), наименьшее значение \( 0 \).