Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^(-3) на промежутке:
1) [1/3; 2];
2) [-2; -1];
3) (-?; -3].
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x-3:
Данная функция:
- Имеет нечетный показатель степени;
- Имеет вертикальную асимптоту x₀ = 0;
- Убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞);
1) На промежутке [1/3; 2]:
- max f(x) = f(1/3) = (1/3)-3 = 33 = 27;
- min f(x) = f(2) = 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8;
2) На промежутке [−2; −1]:
- max f(x) = f(−2) = (−2)-3 = (−1/2)3 = −1 / 8;
- min f(x) = f(−1) = (−1)-3 = (−1)3 = −1;
3) На промежутке (−∞; −3]:
- max f(x) = f(−3) = (−3)-3 = (1 / −3)3 = −1 / 27;
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x-3:
Данная функция:
- Имеет нечетный показатель степени: Это означает, что функция будет симметрична относительно начала координат. График функции будет стремиться к бесконечности при x → 0, но при этом он будет менять знак на противоположный на противоположных интервалах (отрицательный x и положительный x). Важно отметить, что при четных значениях x функция не изменяет знак, а при нечетных значениях — меняет его в зависимости от того, на каком интервале находится x.
- Имеет вертикальную асимптоту x₀ = 0: Функция не существует в точке x = 0, и её график стремится к бесконечности по мере того, как x приближается к 0 с разных сторон. Эта вертикальная асимптота играет важную роль в определении поведения функции.
- Убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞): Поскольку функция имеет отрицательную степень, она будет убывать на интервале от минус бесконечности до нуля и возрастать на интервале от нуля до плюс бесконечности. Это также связано с поведением функции в окрестности вертикальной асимптоты — слева от нуля значения функции будут становиться всё более отрицательными, а справа — положительными.
1) На промежутке [1/3; 2]:
На этом промежутке x варьируется от 1/3 до 2, что позволяет найти максимальные и минимальные значения функции. Рассмотрим, как они вычисляются:
- max f(x) = f(1/3) = (1/3)-3 = 33 = 27: Для нахождения максимума функции, подставляем значение x = 1/3 в выражение для f(x) = x-3. Мы получаем значение функции, равное 27, что является наибольшим значением на этом промежутке.
- min f(x) = f(2) = 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8: Подставляя x = 2 в выражение для функции, мы получаем минимальное значение, равное 1 / 8, которое будет наименьшим значением на интервале от 1/3 до 2.
2) На промежутке [−2; −1]:
Этот промежуток охватывает значения от −2 до −1, что снова позволяет вычислить максимальные и минимальные значения функции:
- max f(x) = f(−2) = (−2)-3 = (−1/2)3 = −1 / 8: Мы подставляем x = −2 в функцию f(x) = x-3. Получаем максимальное значение функции на данном интервале, которое равняется −1 / 8.
- min f(x) = f(−1) = (−1)-3 = (−1)3 = −1: Для x = −1 находим минимальное значение функции, равное −1, что является наименьшим значением на интервале от −2 до −1.
3) На промежутке (−∞; −3]:
На данном интервале функция будет стремиться к −∞, так как по мере того, как x приближается к −∞, значение функции также стремится к отрицательной бесконечности:
- max f(x) = f(−3) = (−3)-3 = 1 / (−3)3 = −1 / 27: Мы подставляем x = −3 в выражение f(x) = x-3 и находим, что максимальное значение функции на этом интервале равно −1 / 27.
Итоговые выводы:
- На промежутке [1/3; 2]: Наибольшее значение: 27, наименьшее значение: 1/8.
- На промежутке [−2; −1]: Наибольшее значение: −1 / 8, наименьшее значение: −1.
- На промежутке (−∞; −3]: Максимальное значение: −1 / 27.
Алгебра
