ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=x^{-3}\) на промежутке:

1) \(\left[\frac{1}{3};\ 2\right]\);

2) \(\left[-2;\ -1\right]\);

3) \(\left(-\infty;\ -3\right]\).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^{-3} \).

Свойства:
— показатель степени нечётный, значит функция нечётная: \( f(-x) = -f(x) \);
— вертикальная асимптота при \( x = 0 \);
— убывает на \( (-\infty,0] \) и возрастает на \( [0,+\infty) \).

1) На промежутке \( \left[\frac{1}{3},\,2\right] \):

\( f\!\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^{3} = 27 \),
\( f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} \).

Так как на \( [0,+\infty) \) функция возрастает, то:
\( \max f(x) = 27 \) при \( x = \frac{1}{3} \),
\( \min f(x) = \frac{1}{8} \) при \( x = 2 \).

2) На промежутке \( [-2,\,-1] \):

\( f(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^{3}} = -\frac{1}{8} \),
\( f(-1) = (-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^{3}} = -1 \).

Так как на \( (-\infty,0] \) функция убывает, то:
\( \max f(x) = -\frac{1}{8} \) при \( x = -2 \),
\( \min f(x) = -1 \) при \( x = -1 \).

3) На промежутке \( (-\infty,\,-3] \):

\( f(-3) = (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^{3}} = -\frac{1}{27} \),
\( \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0^{-} \).

Так как функция убывает, то:
наибольшее значение не достигается (верхняя грань равна \( 0 \)),
\( \min f(x) = -\frac{1}{27} \) при \( x = -3 \).

Итоги:
На \( \left[\frac{1}{3},\,2\right] \): \( \max = 27,\ \min = \frac{1}{8} \).
На \( [-2,\,-1] \): \( \max = -\frac{1}{8},\ \min = -1 \).
На \( (-\infty,\,-3] \): \( \max \) не существует ( \( \sup = 0 \) ), \( \min = -\frac{1}{27} \).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^{-3} \).

Во-первых, показатель степени равен \(-3\), что является нечётным числом. Это означает, что функция является нечётной:
\( f(-x) = (-x)^{-3} = -x^{-3} = -f(x) \). Из этого следует, что график функции обладает симметрией относительно начала координат.
Другими словами, если точка \( (a; f(a)) \) принадлежит графику, то точка \( (-a; -f(a)) \) также будет принадлежать графику.

Во-вторых, функция имеет вертикальную асимптоту при \( x = 0 \). Это связано с тем, что при \( x \to 0^+ \) функция принимает большие положительные значения (\( f(x) \to +\infty \)), а при \( x \to 0^- \) функция принимает большие отрицательные значения (\( f(x) \to -\infty \)).

В-третьих, поведение функции на числовых промежутках:
она убывает на всём промежутке \( (-\infty; 0] \), так как чем меньше отрицательные \( x \) по модулю, тем более отрицательными становятся значения функции.
Наоборот, на промежутке \( [0; +\infty) \) функция возрастает, так как при увеличении \( x \) знаменатель растёт, а сама дробь убывает по величине, приближаясь к нулю.

1) На промежутке \( \left[\frac{1}{3}; 2\right] \):

Рассмотрим значения функции на концах интервала:

\( f\!\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^{3} = 27 \),
так как возведение числа \( \frac{1}{3} \) в степень \(-3\) означает, что мы берём обратное значение числа \( \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1}{27} \), а обратное равно \( 27 \).

\( f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} \),
поскольку отрицательная степень означает обращение числа \( 2^{3} = 8 \), что даёт \( \frac{1}{8} \).

Так как на интервале \( [0; +\infty) \) функция возрастает, то наименьшее значение достигается в точке \( x = 2 \), а наибольшее — в точке \( x = \frac{1}{3} \).
Итак:
\( \max f(x) = f\!\left(\frac{1}{3}\right) = 27 \),
\( \min f(x) = f(2) = \frac{1}{8} \).

2) На промежутке \( [-2; -1] \):

Функция является нечётной, поэтому её значения на отрицательных числах будут противоположны соответствующим положительным значениям.
На интервале \( (-\infty; 0] \) функция убывает, то есть при движении слева направо её значения становятся меньше.

Вычислим значения на концах:

\( f(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^{3}} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} \).
\( f(-1) = (-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^{3}} = \frac{1}{-1} = -1 \).

Поскольку функция убывает, то большее значение будет при \( x = -2 \), а меньшее — при \( x = -1 \). Следовательно:
\( \max f(x) = -\frac{1}{8} \),
\( \min f(x) = -1 \).

3) На промежутке \( (-\infty; -3] \):

Здесь также учитывается, что функция убывает на промежутке \( (-\infty; 0] \).
При этом важно рассмотреть как значение функции в точке \( x = -3 \), так и предельное поведение при \( x \to -\infty \).

\( f(-3) = (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^{3}} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27} \).
При \( x \to -\infty \): знаменатель \( x^{3} \) стремится к \( -\infty \), следовательно, \( f(x) = \frac{1}{x^{3}} \to 0^- \) (нулю слева, отрицательное значение).

Так как функция убывает, то наибольшее значение достигается в конечной точке \( x = -3 \), а наименьшее значение — это предел при \( x \to -\infty \).
Таким образом:
\( \max f(x) = -\frac{1}{27} \),
\( \min f(x) = 0^- \) (значение функции стремится к нулю с отрицательной стороны, но никогда его не достигает).

Окончательные выводы:

— На промежутке \( \left[\frac{1}{3}; 2\right] \): наибольшее значение функции равно \( 27 \), а наименьшее равно \( \frac{1}{8} \).
— На промежутке \( [-2; -1] \): наибольшее значение равно \( -\frac{1}{8} \), а наименьшее равно \( -1 \).
— На промежутке \( (-\infty; -3] \): наибольшее значение равно \( -\frac{1}{27} \), а наименьшее значение равно \( 0^- \).