ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Проходит ли график функции \(y=x^{-5}\) через точку:

1) \(A(0;\ 0)\);

2) \(B(-1;\ -1)\);

3) \(C\!\left(\frac{1}{2};\ 32\right)\);

4) \(D\!\left(-3;\ -\frac{1}{243}\right)\)?

Проходит ли график функции \(y=x^{-5}\) через точку:

1) \(A(0; 0)\);

\(y(0)=0^{-5}=\frac{1}{0^{5}}=\frac{1}{0}\ne 0\);

Ответ: не проходит.

2) \(B(-1; -1)\);

\(y(-1)=(-1)^{-5}=\frac{1}{(-1)^{5}}=-\frac{1}{1}=-1\);

Ответ: проходит.

3) \(C\!\left(\frac{1}{2}; 32\right)\);

\(y\!\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}=2^{5}=32\);

Ответ: проходит.

4) \(D\!\left(-3; -\frac{1}{243}\right)\);

\(y(-3)=(-3)^{-5}=\frac{1}{(-3)^{5}}=-\frac{1}{3^{5}}=-\frac{1}{243}\);

Ответ: проходит.

Функция: \(y=x^{-5}\). Полезные тождества степеней: \(x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\), \(a^{m}a^{n}=a^{m+n}\), \(\left(\frac{p}{q}\right)^{-n}=\left(\frac{q}{p}\right)^{n}\).

Область определения и свойства: \(x\ne 0\) (деление на ноль невозможно), поэтому точка с абсциссой \(0\) не может лежать на графике. Степень нечётная и отрицательная, значит \(y=\frac{1}{x^{5}}\) — нечётная функция: \(f(-x)=-f(x)\). При \(x>0\) значения положительны, при \(x<0\) — отрицательны.

Критерий принадлежности: точка \((x_{0};y_{0})\) лежит на графике тогда и только тогда, когда \(y_{0}=f(x_{0})=x_{0}^{-5}\).

1) \(A(0;0)\)

Вычисление: \(f(0)=0^{-5}=\frac{1}{0^{5}}=\frac{1}{0}\) — не определено. Следовательно, сравнение с \(0\) бессмысленно, точка с \(x=0\) не принадлежит графику по причине отсутствия значения функции при \(x=0\).

2) \(B(-1;-1)\)

Вычисление: \(f(-1)=(-1)^{-5}=\frac{1}{(-1)^{5}}=\frac{1}{-1}=-1\). Совпадает с заданным \(y=-1\) ⇒ точка принадлежит графику.

3) \(C\!\left(\frac{1}{2};32\right)\)

Вычисление: \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}=\left(\frac{2}{1}\right)^{5}=2^{5}=32\). Совпадает с \(y=32\) ⇒ точка принадлежит графику.

4) \(D\!\left(-3;-\frac{1}{243}\right)\)

Вычисление: \(f(-3)=(-3)^{-5}=\frac{1}{(-3)^{5}}=\frac{1}{-243}=-\frac{1}{243}\). Совпадает с \(y=-\frac{1}{243}\) ⇒ точка принадлежит графику.

Итог: A — не проходит; B — проходит; C — проходит; D — проходит.