Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите графически уравнение:
1) \(\sqrt{x}=-x-1\);
2) \(\sqrt{x}=2-x\);
3) \(\sqrt{x}=\frac{1}{x}\).
Решить графически уравнение:
1) \( \sqrt{x} = -x — 1 \)
Рассмотрим две функции:
\( y = \sqrt{x} \) — определена только при \( x \geq 0 \). Для построения возьмём несколько точек:
| x | 1 | 4 | 9 |
| y | 1 | 2 | 3 |
\( y = -x — 1 \) — это прямая с угловым коэффициентом \(-1\), проходящая через точки (0; -1) и (2; -3):
| x | 0 | 2 |
| y | -1 | -3 |
График функции \( y = \sqrt{x} \) расположен в верхней полуплоскости (y ≥ 0), а прямая \( y = -x — 1 \) всегда находится ниже оси Ox. Следовательно, пересечений нет.
Ответ: корней нет.
2) \( \sqrt{x} = 2 — x \)
Снова сравниваются графики:
\( y = \sqrt{x} \) (таблица значений):
| x | 1 | 4 | 9 |
| y | 1 | 2 | 3 |
\( y = 2 — x \) — прямая, которая проходит через точки (0;2) и (2;0):
| x | 0 | 2 |
| y | 2 | 0 |
Графики пересекаются в точке (1;1), так как одновременно выполняются условия: \( \sqrt{1} = 1 \) и \( 2 — 1 = 1 \).
Ответ: \( x = 1 \).
3) \( \sqrt{x} = \frac{1}{x} \)
Первая функция: \( y = \sqrt{x} \), область определения \( x \geq 0 \). Вторая функция: \( y = \frac{1}{x} \), область определения \( x > 0 \). Рассмотрим несколько значений для гиперболы:
| x | 0.5 | 1 | 2 |
| y | 2 | 1 | 0.5 |
Очевидно, что графики пересекаются в точке (1;1), так как \( \sqrt{1} = 1 \) и \( \frac{1}{1} = 1 \).
Ответ: \( x = 1 \).
Решить графически уравнение:
1) \( \sqrt{x} = -x — 1 \)
Функция \( y = \sqrt{x} \) определена только при \( x \geq 0 \). Её график проходит через начало координат (0;0) и медленно возрастает. Для построения возьмём несколько характерных точек:
| x | 1 | 4 | 9 |
| y | 1 | 2 | 3 |
Функция \( y = -x — 1 \) является линейной, с угловым коэффициентом \(-1\) и значением \( y = -1 \) при \( x = 0 \). Прямая убывает и проходит через точки (0; -1), (2; -3). Таблица значений:
| x | 0 | 2 |
| y | -1 | -3 |
График функции \( y = \sqrt{x} \) всегда расположен выше оси Ox (y ≥ 0), а прямая \( y = -x — 1 \) проходит ниже оси Ox (y < 0). Общих точек графики не имеют.
Ответ: корней нет.
2) \( \sqrt{x} = 2 — x \)
Функция \( y = \sqrt{x} \) определена при \( x \geq 0 \) и возрастает. Таблица значений:
| x | 1 | 4 | 9 |
| y | 1 | 2 | 3 |
Функция \( y = 2 — x \) является линейной, убывает, проходит через точки (0;2) и (2;0). Таблица значений:
| x | 0 | 2 |
| y | 2 | 0 |
Графики пересекаются в точке (1;1), так как \( \sqrt{1} = 1 \) и \( 2 — 1 = 1 \). Других пересечений нет.
Ответ: \( x = 1 \).
3) \( \sqrt{x} = \frac{1}{x} \)
Функция \( y = \sqrt{x} \) определена при \( x \geq 0 \) и возрастает. При \( x = 0 \) значение равно 0, при \( x = 1 \) равно 1, при \( x = 4 \) равно 2.
Функция \( y = \frac{1}{x} \) — гипербола, определённая для всех \( x \neq 0 \). На положительной полуоси она убывает и стремится к нулю. Таблица значений:
| x | 0.5 | 1 | 2 |
| y | 2 | 1 | 0.5 |
При \( x = 1 \) обе функции дают одинаковый результат: \( \sqrt{1} = 1 \) и \( \frac{1}{1} = 1 \). Это единственная точка пересечения графиков. Для x < 1 гипербола лежит выше, чем √x, а для x > 1 — ниже.
Ответ: \( x = 1 \).
