ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

1) \(\sqrt{x}=-x-1\);

2) \(\sqrt{x}=2-x\);

3) \(\sqrt{x}=\frac{1}{x}\).

Решить графически уравнение:

1) \( \sqrt{x} = -x — 1 \)

Рассмотрим две функции:

\( y = \sqrt{x} \) — определена только при \( x \geq 0 \). Для построения возьмём несколько точек:

\( y = -x — 1 \) — это прямая с угловым коэффициентом \(-1\), проходящая через точки (0; -1) и (2; -3):

График функции \( y = \sqrt{x} \) расположен в верхней полуплоскости (y ≥ 0), а прямая \( y = -x — 1 \) всегда находится ниже оси Ox. Следовательно, пересечений нет.

Ответ: корней нет.

2) \( \sqrt{x} = 2 — x \)

Снова сравниваются графики:

\( y = \sqrt{x} \) (таблица значений):

\( y = 2 — x \) — прямая, которая проходит через точки (0;2) и (2;0):

Графики пересекаются в точке (1;1), так как одновременно выполняются условия: \( \sqrt{1} = 1 \) и \( 2 — 1 = 1 \).

Ответ: \( x = 1 \).

3) \( \sqrt{x} = \frac{1}{x} \)

Первая функция: \( y = \sqrt{x} \), область определения \( x \geq 0 \). Вторая функция: \( y = \frac{1}{x} \), область определения \( x > 0 \). Рассмотрим несколько значений для гиперболы:

Очевидно, что графики пересекаются в точке (1;1), так как \( \sqrt{1} = 1 \) и \( \frac{1}{1} = 1 \).

Ответ: \( x = 1 \).

Решить графически уравнение:

1) \( \sqrt{x} = -x — 1 \)

Функция \( y = \sqrt{x} \) определена только при \( x \geq 0 \). Её график проходит через начало координат (0;0) и медленно возрастает. Для построения возьмём несколько характерных точек:

Функция \( y = -x — 1 \) является линейной, с угловым коэффициентом \(-1\) и значением \( y = -1 \) при \( x = 0 \). Прямая убывает и проходит через точки (0; -1), (2; -3). Таблица значений:

График функции \( y = \sqrt{x} \) всегда расположен выше оси Ox (y ≥ 0), а прямая \( y = -x — 1 \) проходит ниже оси Ox (y < 0). Общих точек графики не имеют.

Ответ: корней нет.

2) \( \sqrt{x} = 2 — x \)

Функция \( y = \sqrt{x} \) определена при \( x \geq 0 \) и возрастает. Таблица значений:

Функция \( y = 2 — x \) является линейной, убывает, проходит через точки (0;2) и (2;0). Таблица значений:

Графики пересекаются в точке (1;1), так как \( \sqrt{1} = 1 \) и \( 2 — 1 = 1 \). Других пересечений нет.

Ответ: \( x = 1 \).

3) \( \sqrt{x} = \frac{1}{x} \)

Функция \( y = \sqrt{x} \) определена при \( x \geq 0 \) и возрастает. При \( x = 0 \) значение равно 0, при \( x = 1 \) равно 1, при \( x = 4 \) равно 2.

Функция \( y = \frac{1}{x} \) — гипербола, определённая для всех \( x \neq 0 \). На положительной полуоси она убывает и стремится к нулю. Таблица значений:

При \( x = 1 \) обе функции дают одинаковый результат: \( \sqrt{1} = 1 \) и \( \frac{1}{1} = 1 \). Это единственная точка пересечения графиков. Для x < 1 гипербола лежит выше, чем √x, а для x > 1 — ниже.

Ответ: \( x = 1 \).