ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(y=(x^{-1})^{-1}\);

2) \(y=((x-2)^{-2})^{-2}\).

Найти область определения функции:

1) \( y = (x-1)^{-1} = \left(\frac{1}{x}\right)^{-1} = \frac{1}{x} \);

Выражение имеет смысл при: \( x \neq 0 \);

Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

2) \( y = \big((x — 2)^{-2}\big)^{-2} = \left(\frac{1}{(x — 2)^2}\right)^{-2} = \frac{1}{(x — 2)^4} \);

Выражение имеет смысл при: \( (x — 2)^4 \neq 0 \), то есть \( x — 2 \neq 0 \), следовательно \( x \neq 2 \);

Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) \).

Найти область определения функции:

1) \( y = (x-1)^{-1} = \left(\frac{1}{x}\right)^{-1} = \frac{1}{x} \);

Данное выражение представляет собой инверсию функции с показателем степени \(-1\). Это означает, что выражение \(x-1\) становится основанием для отрицательной степени, и результат вычисляется как обратная величина, то есть деление \(1\) на это основание. В случае \(x^{-1}\) мы получаем \(\frac{1}{x}\). Однако деление на ноль невозможно, поэтому значение функции не определено при \(x = 0\). Следовательно, необходимо исключить ноль из множества допустимых значений аргумента.

Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Это значит, что функция определена для всех действительных чисел, кроме нуля, где знаменатель обращается в ноль.

2) \( y = \big((x-2)^{-2}\big)^{-2} = \left(\frac{1}{(x-2)^2}\right)^{-2} = \frac{1}{(x-2)^4} \);

В данном случае мы имеем выражение, которое связано с последовательным возведением в отрицательную степень. Сначала \( (x-2)^{-2} \) означает, что берётся обратное значение \((x-2)^2\), то есть \(\frac{1}{(x-2)^2}\). Далее возведение в степень \(-2\) снова приводит к операции обратного преобразования, что эквивалентно возведению знаменателя в степень \(2\). В результате получаем \(\frac{1}{(x-2)^4}\). Чтобы дробь имела смысл, знаменатель \((x-2)^4\) не должен быть равен нулю. Это условие выполняется при всех значениях \(x\), кроме \(x = 2\), так как при \(x = 2\) знаменатель обращается в ноль и выражение становится неопределённым.

Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) \). Это значит, что функция определена для всех действительных чисел, кроме точки \(x = 2\).