ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Имеет ли смысл запись:

1) \(\sqrt[3]{2}\);

2) \(\sqrt[3]{-2}\);

3) \(\sqrt[4]{2}\);

4) \(\sqrt[6]{0}\);

5) \(\sqrt[6]{-1}\)?

1) \( \sqrt[3]{2} \);
Показатель корня — нечетное число;
Ответ: да.

2) \( \sqrt[3]{-2} \);
Показатель корня — нечетное число;
Ответ: да.

3) \( \sqrt[4]{2} \);
Показатель корня — четное число;
Подкоренное выражение — положительное число;
Ответ: да.

4) \( \sqrt[6]{-6} \);
Показатель корня — четное число;
Подкоренное выражение — неотрицательное число;
Ответ: да.

5) \( \sqrt[6]{-2} \);
Показатель корня — четное число;
Подкоренное выражение — отрицательное число;
Ответ: нет.

1) \( \sqrt[3]{2} \);
Рассмотрим выражение \( \sqrt[3]{2} \). Показатель корня является нечётным числом (3). Когда показатель корня нечётный, мы можем извлекать корень из любого числа, в том числе и из положительных чисел, как в этом случае с числом 2. Квадратный или кубический корень из положительного числа всегда имеет смысл, так как результат будет действительным числом.
Показатель корня — нечётное число;
Ответ: да.

2) \( \sqrt[3]{-2} \);
В этом выражении мы извлекаем кубический корень из отрицательного числа. Поскольку показатель корня нечётный, мы можем извлечь корень из любого числа, включая отрицательные. Таким образом, кубический корень из \( -2 \) имеет смысл и является действительным числом, так как извлечение нечётного корня из отрицательного числа всегда даёт отрицательный результат.
Показатель корня — нечётное число;
Ответ: да.

3) \( \sqrt[4]{2} \);
В этом выражении мы видим кубический корень с чётным показателем (который является 2). Поскольку показатель корня чётный, мы можем извлекать корень только из положительных чисел. Подкоренное выражение \( 2 \) является положительным числом, поэтому извлечение кубического корня имеет смысл и даёт положительное число.
Показатель корня — чётное число;
Подкоренное выражение — положительное число;
Ответ: да.

4) \( \sqrt[6]{-6} \);
В этом примере у нас квадратный корень с чётным показателем и отрицательным числом в подкоренном выражении. Согласно математическим правилам, извлекать квадратный корень из отрицательных чисел невозможно в области действительных чисел. Однако, в области комплексных чисел это возможно, так как результат будет комплексным числом. Но в данном контексте мы не рассматриваем комплексные числа, поэтому запись \( \sqrt[6]{-6} \) не имеет смысла в области действительных чисел.
Показатель корня — чётное число;
Подкоренное выражение — неотрицательное число;
Ответ: да.

5) \( \sqrt[6]{-2} \);
В этом выражении мы пытаемся извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Как и в предыдущем случае, квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел не существует, так как результат будет комплексным числом. Таким образом, выражение \( \sqrt[6]{-2} \) не имеет смысла в действительных числах.
Показатель корня — чётное число;
Подкоренное выражение — отрицательное число;
Ответ: нет.