Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) \(\sqrt[8]{x+6}\);
2) \(\sqrt[9]{a-10}\);
3) \(\sqrt[4]{y(y-1)}\);
4) \(\sqrt[6]{-x}\);
5) \(\sqrt[6]{-x^{2}}\);
6) \(\sqrt[10]{x^{2}+2x-8}\)?
При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) \(\sqrt[8]{x+6}\)
Условие: \(x+6 \geq 0\).
\(x \geq -6\).
Ответ: \(x \in [-6; +\infty)\).
2) \(\sqrt[9]{a-10}\)
Условие: \(a-10 \in \mathbb{R}\). Для нечётного корня ограничений нет.
Ответ: \(a \in (-\infty; +\infty)\).
3) \(\sqrt[4]{y(y-1)}\)
Условие: \(y(y-1) \geq 0\).
Решение: \(y \leq 0\) или \(y \geq 1\).
Ответ: \(y \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)\).
4) \(\sqrt[6]{-x}\)
Условие: \(-x \geq 0\).
\(x \leq 0\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 0]\).
5) \(\sqrt[6]{-x^2}\)
Условие: \(-x^2 \geq 0\).
\(x^2 \leq 0\). Это возможно только при \(x=0\).
Ответ: \(x \in \{0\}\).
6) \(\sqrt[10]{x^2+2x-8}\)
Условие: \(x^2+2x-8 \geq 0\).
Решим квадратное неравенство:
\(D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 36\).
\(x_1 = \frac{-2-6}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-2+6}{2} = 2\).
\((x+4)(x-2) \geq 0\).
Решение: \(x \leq -4\) или \(x \geq 2\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -4] \cup [2; +\infty)\).
Правило
Для чётного корня \( \sqrt[2k]{\ \cdot\ } \) подкоренное выражение должно быть неотрицательным (≥0).
Для нечётного корня \( \sqrt[2k+1]{\ \cdot\ } \) ограничений нет: он определён для любых действительных значений подкоренного.
1) \( \sqrt[8]{\,x+6\,} \)
Требуется \( x+6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6 \).
Проверка: при \(x=-6\) получаем \( \sqrt[8]{0}=0 \) (допустимо); при \(x=-7\) имеем \( \sqrt[8]{-1} \) — не определён над \( \mathbb R \).
Область: \( x \in [-6,+\infty) \).
2) \( \sqrt[9]{\,a-10\,} \)
Корень нечётной степени, значит ограничений нет: \( a-10 \in \mathbb R \Rightarrow a \in \mathbb R \).
Проверка: \(a=0\Rightarrow \sqrt[9]{-10}\) допустимо; \(a=25\Rightarrow \sqrt[9]{15}\) допустимо.
Область: \( a \in (-\infty,+\infty) \).
3) \( \sqrt[4]{\,y(y-1)\,} \)
Нужно \( y(y-1) \ge 0 \). Критические точки: \(y=0\) и \(y=1\). Рассматриваем интервалы:
\[
\begin{aligned}
&y\in(-\infty,0]:\quad y\le0,\; y-1\le-1 \Rightarrow произведение \ge0;\\
&y\in(0,1):\quad y>0,\; y-1<0 \Rightarrow произведение <0;\\
&y\in[1,+\infty):\quad y\ge1,\; y-1\ge0 \Rightarrow произведение\ge0.
\end{aligned}
\]
Проверка: \(y=-2 \Rightarrow (-2)\cdot(-3)=6\ge0\) — можно; \(y=\tfrac12 \Rightarrow \tfrac12\cdot(-\tfrac12)=-\tfrac14<0\) — нельзя; \(y=1\Rightarrow0\) — можно.
Область: \( y \in (-\infty,0] \cup [1,+\infty) \).
4) \( \sqrt[6]{\, -x \,} \)
Требуется \( -x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \).
Проверка: \(x=0 \Rightarrow \sqrt[6]{0}=0\) — можно; \(x=2 \Rightarrow \sqrt[6]{-2}\) — нельзя.
Область: \( x \in (-\infty,0] \).
5) \( \sqrt[6]{\, -x^{2} \,} \)
Нужно \( -x^{2} \ge 0 \Rightarrow x^{2} \le 0 \). Квадрат неотрицателен и равен нулю только при \(x=0\).
Проверка: \(x=0 \Rightarrow \sqrt[6]{0}=0\) — можно; \(x=1 \Rightarrow \sqrt[6]{-1}\) — нельзя.
Область: \( x \in \{0\} \).
6) \( \sqrt[10]{\,x^{2}+2x-8\,} \)
Требуется \( x^{2}+2x-8 \ge 0 \). Разложим:
\[
x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2).
\]
Критические точки: \(x=-4\) и \(x=2\). Парабола ветвями вверх, значит неотрицательно на краях:
\[
x \in (-\infty,-4] \cup [2,+\infty).
\]
Проверка: \(x=-5\Rightarrow 25-10-8=7\ge0\) — можно; \(x=0\Rightarrow -8<0\) — нельзя; \(x=3\Rightarrow 9+6-8=7\ge0\) — можно.
Область: \( x \in (-\infty,-4] \cup [2,+\infty) \).
Ответы:
- \(\sqrt[8]{x+6}\): \(x \in [-6,+\infty)\).
- \(\sqrt[9]{a-10}\): \(a \in \mathbb R\).
- \(\sqrt[4]{y(y-1)}\): \(y \in (-\infty,0] \cup [1,+\infty)\).
- \(\sqrt[6]{-x}\): \(x \in (-\infty,0]\).
- \(\sqrt[6]{-x^{2}}\): \(x \in \{0\}\).
- \(\sqrt[10]{x^{2}+2x-8}\): \(x \in (-\infty,-4] \cup [2,+\infty)\).
