ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1) \(y = \sqrt[4]{x — 2}\)
Условие: \(x — 2 \geq 0\).
\(x \geq 2\).
Ответ: \(D(y) = [2; +\infty)\).

2) \(y = \sqrt[7]{4 — x}\)
Так как корень нечётной степени, ограничений нет.
Условие: \(4 — x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\).

3) \(y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^2 — 4x + 4}}\)
Условие: \(x^2 — 4x + 4 > 0\).
\((x — 2)^2 > 0\).
\(x — 2 \neq 0\).
\(x \neq 2\).
Ответ: \(D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).

Найти область определения функции:

1) \(y = \sqrt[4]{x — 2}\)
Так как корень четвёртой степени определён только при неотрицательном подкоренном выражении, требуется условие:
\(x — 2 \geq 0 \;\;\Rightarrow\;\; x \geq 2\).
Область определения: все \(x\), начиная с \(2\) и далее.
Ответ: \(D(y) = [2; +\infty)\).

2) \(y = \sqrt[7]{4 — x}\)
Корень нечётной степени существует при любом действительном подкоренном выражении, поэтому ограничений нет.
Область определения: все действительные числа.
Ответ: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\).

3) \(y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^2 — 4x + 4}}\)
Для существования восьмого корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а так как оно находится в знаменателе, оно должно быть строго больше нуля:
\(x^2 — 4x + 4 > 0\).
Заметим, что \(x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2\).
Условие: \((x — 2)^2 > 0 \;\;\Rightarrow\;\; x \neq 2\).
Область определения: все действительные числа, кроме \(x = 2\).
Ответ: \(D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).