ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравнить числа:

1) \(\sqrt[6]{55}\) и \(\sqrt[6]{80}\)
Так как \(55 < 80 \;\Rightarrow\; \sqrt[6]{55} < \sqrt[6]{80}\).
Ответ: \(\sqrt[6]{55} < \sqrt[6]{80}\).

2) \(\sqrt[7]{-\frac{1}{3}}\) и \(\sqrt[7]{-\frac{1}{4}}\)
Заметим: \(-\frac{1}{3} \approx -0{,}333\ldots\), \(-\frac{1}{4} = -0{,}25\).
Сравнение: \(-\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}\).
Так как корень нечётной степени сохраняет порядок, имеем: \(\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} < \sqrt[7]{-\frac{1}{4}}\).
Ответ: \(\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} < \sqrt[7]{-\frac{1}{4}}\).

Сравнить числа:

1) \(\sqrt[6]{55}\) и \(\sqrt[6]{80}\).

Рассмотрим оба числа под знаком корня. Мы имеем два положительных числа: \(55\) и \(80\). Так как известно, что функция извлечения корня чётной степени (в данном случае шестой степени) является строго возрастающей на множестве положительных чисел, порядок сравнения чисел сохраняется. Иными словами, если \(a < b\), то для любых положительных \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\), где \(n\) — чётное число. В данном случае: \(55 < 80\), следовательно, \(\sqrt[6]{55} < \sqrt[6]{80}\).

Более того, если рассмотреть приблизительные значения, можно заметить, что \(\sqrt[6]{55}\) — это число, которое несколько больше, чем \(\sqrt[6]{54}\), а \(\sqrt[6]{80}\) находится ближе к \(\sqrt[6]{81} = 3\). Таким образом, \(\sqrt[6]{55}\) находится между 2 и 3, а \(\sqrt[6]{80}\) очень близко к 3. Это также подтверждает результат сравнения.

Окончательный вывод: \(\sqrt[6]{55} < \sqrt[6]{80}\).
Ответ: \(\sqrt[6]{55} < \sqrt[6]{80}\).

2) \(\sqrt[7]{-\frac{1}{3}}\) и \(\sqrt[7]{-\frac{1}{4}}\).

Сначала сравним числа под корнем: \(-\frac{1}{3} \approx -0{,}333…\) и \(-\frac{1}{4} = -0{,}25\). Очевидно, что \(-\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}\), так как \(-0{,}333…\) меньше, чем \(-0{,}25\). Теперь нужно учесть, что корень 7-й степени является корнем нечётной степени. Функция извлечения корня нечётной степени строго возрастает на всей числовой прямой, включая отрицательные значения. Это означает, что при сравнении отрицательных чисел порядок сохраняется. То есть если \(a < b\), то \(\sqrt[7]{a} < \sqrt[7]{b}\).

Таким образом, раз \(-\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}\), то и \(\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} < \sqrt[7]{-\frac{1}{4}}\).

Для наглядности можно оценить: \(\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} \approx -0{,}82\), а \(\sqrt[7]{-\frac{1}{4}} \approx -0{,}76\). Очевидно, что \(-0{,}82 < -0{,}76\), что полностью совпадает с аналитическим рассуждением.

Окончательный вывод: \(\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} < \sqrt[7]{-\frac{1}{4}}\).
Ответ: \(\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} < \sqrt[7]{-\frac{1}{4}}\).