Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \(x^{3}=27\);
2) \(x^{5}=9\);
3) \(x^{7}=-2\);
4) \(x^{4}=16\);
5) \(x^{6}=5\);
6) \(x^{4}=-81\);
7) \(27x^{3}-1=0\);
8) \((x-2)^{3}=125\);
9) \((x+5)^{4}=10\,000\).
Решить уравнение:
1) \(x^3 = 27\)
\(x = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3\).
Ответ: \(3\).
2) \(x^5 = 9\)
\(x = \sqrt[5]{9}\).
Ответ: \(\sqrt[5]{9}\).
3) \(x^7 = -2\)
\(x = \sqrt[7]{-2} = -\sqrt[7]{2}\).
Ответ: \(-\sqrt[7]{2}\).
4) \(x^4 = 16\)
\(x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm \sqrt[4]{2^4} = \pm 2\).
Ответ: \(\pm 2\).
5) \(x^6 = 5\)
\(x = \pm \sqrt[6]{5}\).
Ответ: \(\pm \sqrt[6]{5}\).
6) \(x^4 = -81\)
\(x = \pm \sqrt[4]{-81}\). Корня четной степени из отрицательного числа не существует в действительных числах.
Ответ: корней нет.
7) \(27x^3 — 1 = 0\)
\(27x^3 = 1 \;\;\Rightarrow\;\; x^3 = \frac{1}{27}\).
\(x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}\).
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
8) \((x — 2)^3 = 125\)
\((x — 2)^3 = 5^3\).
\(x — 2 = 5\).
\(x = 5 + 2 = 7\).
Ответ: \(7\).
9) \((x + 5)^4 = 10000\)
\((x + 5)^4 = (\pm 10)^4\).
Первое уравнение: \(x + 5 = 10 \;\;\Rightarrow\;\; x = 5\).
Второе уравнение: \(x + 5 = -10 \;\;\Rightarrow\;\; x = -15\).
Ответ: \(-15; 5\).
Решить уравнение:
1) \(x^3 = 27;\)
Здесь требуется найти такое значение переменной \(x\), при котором её третья степень равна \(27\).
Заметим, что \(27 = 3^3\). Следовательно, кубический корень из числа \(27\) равен \(3\).
Тогда: \(x = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3.\)
Таким образом, единственное решение данного уравнения — это число \(3\).
Ответ: \(3.\)
2) \(x^5 = 9;\)
Необходимо найти число, которое в пятой степени даёт результат \(9\).
Это означает, что нужно извлечь пятый корень из числа \(9\).
Получаем: \(x = \sqrt[5]{9}.\)
Это и будет окончательный вид решения, так как 9 не является точной пятой степенью какого-либо целого числа.
Ответ: \(\sqrt[5]{9}.\)
3) \(x^7 = -2;\)
Степень равна \(7\), то есть нечётная. Для нечётной степени корни могут быть как положительными, так и отрицательными, включая отрицательные подкоренные выражения.
Следовательно, решение будет иметь вид: \(x = \sqrt[7]{-2}.\)
Можно также вынести минус за знак корня: \(x = -\sqrt[7]{2}.\)
Таким образом, единственный корень уравнения — это отрицательный седьмой корень из числа \(2\).
Ответ: \(-\sqrt[7]{2}.\)
4) \(x^4 = 16;\)
Здесь требуется найти такие значения \(x\), которые в четвёртой степени дают результат \(16\).
Известно, что \(16 = 2^4\). Следовательно, возможны два решения: положительное и отрицательное число.
Получаем: \(x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm \sqrt[4]{2^4} = \pm 2.\)
Таким образом, уравнение имеет два решения: \(x = 2\) и \(x = -2\).
Ответ: \(\pm 2.\)
5) \(x^6 = 5;\)
В данном случае степень чётная, равна \(6\). Это означает, что уравнение имеет два действительных решения: положительное и отрицательное.
Решение запишется как: \(x = \pm \sqrt[6]{5}.\)
Поскольку число \(5\) не является точной шестой степенью целого числа, результат оставляем в виде корня.
Ответ: \(\pm \sqrt[6]{5}.\)
6) \(x^4 = -81;\)
Четвёртая степень любого действительного числа всегда неотрицательна, так как \(a^4 \geq 0\) для любого действительного \(a\).
Здесь же правая часть равна отрицательному числу \(-81\). Это означает, что ни одно действительное число в четвёртой степени не может дать отрицательный результат.
Следовательно, уравнение действительных решений не имеет.
Ответ: корней нет.
7) \(27x^3 — 1 = 0;\)
Сначала перенесём константу: \(27x^3 = 1.\)
Разделим обе части уравнения на \(27\): \(x^3 = \frac{1}{27}.\)
Теперь находим кубический корень: \(x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}.\)
Это можно записать как отношение: \(x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}.\)
Таким образом, решение уравнения — число \( \frac{1}{3} \).
Ответ: \(\frac{1}{3}.\)
8) \((x — 2)^3 = 125;\)
Заметим, что \(125 = 5^3.\)
Следовательно: \((x — 2)^3 = 5^3.\)
Это означает, что \(x — 2 = 5.\)
Прибавляем 2 к обеим частям: \(x = 5 + 2 = 7.\)
Таким образом, единственное решение уравнения — число \(7\).
Ответ: \(7.\)
9) \((x + 5)^4 = 10\,000;\)
Заметим, что \(10\,000 = 10^4.\)
Следовательно, получаем: \((x + 5)^4 = (\pm 10)^4.\)
Рассмотрим два случая:
1) \(x + 5 = 10 \Rightarrow x = 10 — 5 = 5.\)
2) \(x + 5 = -10 \Rightarrow x = -10 — 5 = -15.\)
Таким образом, уравнение имеет два решения: \(x = -15\) и \(x = 5.\)
Ответ: \(-15; 5.\)
