ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1) \(x^9 = 1;\)
\(x = \sqrt[9]{1} = 1;\)
Ответ: \(1.\)

2) \(x^{10} = 1;\)
\(x = \pm \sqrt[10]{1} = \pm 1;\)
Ответ: \(\pm 1.\)

3) \(x^{18} = 0;\)
\(x = \pm \sqrt[18]{0} = 0;\)
Ответ: \(0.\)

4) \(x^6 = -64;\)
\(x = \pm \sqrt[6]{-64} = \pm \sqrt[6]{2^6 \cdot (-1)} = \pm 2\sqrt{-1};\)
Ответ: корней нет.

5) \(64x^5 + 2 = 0;\)
\(64x^5 = -2;\)
\(x^5 = -\frac{2}{64} = -\frac{1}{32};\)
\(x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}} = -\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = -\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = -\frac{1}{2};\)
Ответ: \(-0{,}5.\)

6) \((x — 3)^6 = 729;\)
\((x — 3)^6 = (\pm 3)^6;\)
Первое уравнение:
\(x — 3 = -3;\)
\(x = -3 + 3 = 0;\)
Второе уравнение:
\(x — 3 = 3;\)
\(x = 3 + 3 = 6;\)
Ответ: \(0; 6.\)

Решить уравнение:

1) \(x^9 = 1;\)
Здесь требуется найти такие значения \(x\), при которых девятая степень равна \(1\).
Так как \(1 = 1^9\), получаем \(x = \sqrt[9]{1} = 1.\)
Других действительных решений нет, потому что только число \(1\), возведённое в любую степень, даёт \(1\).
Ответ: \(1.\)

2) \(x^{10} = 1;\)
Здесь десятая степень равна \(1\). Поскольку степень чётная, возможны два решения: положительное и отрицательное.
Так как \(1 = 1^{10}\) и также \((-1)^{10} = 1\), получаем два корня: \(x = \pm 1.\)
Запишем через корень: \(x = \pm \sqrt[10]{1} = \pm 1.\)
Ответ: \(\pm 1.\)

3) \(x^{18} = 0;\)
Возведение числа в степень даёт ноль только в том случае, если само число равно нулю.
Следовательно, \(x = 0.\)
Запишем в виде корня: \(x = \pm \sqrt[18]{0} = 0.\)
Ответ: \(0.\)

4) \(x^6 = -64;\)
Любая чётная степень действительного числа всегда неотрицательна, то есть \(a^6 \geq 0.\)
Здесь же правая часть отрицательна: \(-64.\)
Следовательно, в множестве действительных чисел решение отсутствует.
Ответ: корней нет.

5) \(64x^5 + 2 = 0;\)
Переносим число в правую часть: \(64x^5 = -2.\)
Делим обе части на 64: \(x^5 = -\frac{2}{64} = -\frac{1}{32}.\)
Теперь берём пятый корень: \(x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}.\)
Так как степень нечётная, минус можно вынести: \(x = -\sqrt[5]{\frac{1}{32}}.\)
Разложим знаменатель: \(\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}.\)
Таким образом: \(x = -\frac{1}{2} = -0{,}5.\)
Ответ: \(-0{,}5.\)

6) \((x — 3)^6 = 729;\)
Заметим, что \(729 = 3^6.\)
Следовательно, \((x — 3)^6 = (\pm 3)^6.\)
Рассмотрим два случая:
1) \(x — 3 = 3 \;\Rightarrow\; x = 6.\)
2) \(x — 3 = -3 \;\Rightarrow\; x = 0.\)
Таким образом, уравнение имеет два решения: \(0\) и \(6.\)
Ответ: \(0; 6.\)