ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что:
1) число 2 является арифметическим кубическим корнем из числа 8;
2) число 3 является арифметическим корнем четвертой степени из числа 81;
3) число -3 нe является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81.

1) Число 2 является кубическим корнем из числа 8:
\(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8;\)
\(\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2;\)
Что и требовалось доказать.

2) Число 3 является корнем четвёртой степени из числа 81:
\(3 > 0;\)
\(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81;\)
\(\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3;\)
Что и требовалось доказать.

3) Число (-3) не является корнем четвёртой степени из числа 81:
Число 4 — чётное, значит \(\sqrt[4]{81} > 0\), но \((-3) < 0\), поэтому \(\sqrt[4]{81} \neq -3;\)
Что и требовалось доказать.

1) Число 2 является кубическим корнем из числа 8:
Рассмотрим выражение \(\sqrt[3]{8}\). Нам нужно проверить, действительно ли число 2 является кубическим корнем из 8. Кубический корень из числа \(x\) — это такое число, при возведении которого в третью степень получается \(x\). То есть, если \(2^3 = 8\), то число 2 является кубическим корнем из 8. Проверим это вычислением: \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\), что подтверждает, что \(2^3 = 8\). Следовательно, утверждение верно.
\(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8;\)
\(\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2;\)
Что и требовалось доказать.

2) Число 3 является корнем четвёртой степени из числа 81:
Чтобы доказать это, рассмотрим выражение \(\sqrt[4]{81}\). Мы ищем число, которое при возведении в четвёртую степень даст 81. Для этого вычислим: \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\). Это верно, так как 81 действительно равно \(3^4\). Следовательно, 3 является корнем четвёртой степени из 81. Кроме того, можно заметить, что корень четвёртой степени из положительного числа всегда положителен, поэтому утверждение верно.
\(3 > 0;\)
\(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81;\)
\(\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3;\)
Что и требовалось доказать.

3) Число \((-3)\) не является корнем четвёртой степени из числа 81:
Рассмотрим выражение \(\sqrt[4]{81}\) и проверим, является ли \(-3\) корнем четвёртой степени из 81. Мы знаем, что \(81 = 3^4\), и это означает, что четвёртый корень из 81 равен 3, а не -3, потому что корень чётной степени из положительного числа всегда положителен. Следовательно, утверждение, что \(-3\) является корнем четвёртой степени из 81, неверно.
Число 4 — чётное, значит \(\sqrt[4]{81} > 0\), но \((-3) < 0\), поэтому \(\sqrt[4]{81} \neq -3;\)
Что и требовалось доказать.