ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.36 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

1) \( \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32 \cdot 2} = \sqrt{64} = \sqrt{8^2} = 8 \);

Ответ: 8.

2) \( \sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3} = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 2^5 \cdot 3^3} = \sqrt{2^{3+5} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4} \);

\( \sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{(2^4)^2 \cdot (3^2)^2} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144 \);

Ответ: 144.

3) \( \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} = \sqrt{7^2} = 7 \);

Ответ: 7.

4) \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3 \cdot 15}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}} \);

\( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{5}}{3 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{3} \);

Ответ: \( \frac{1}{3} \).

Найти значение выражения:

1) \( \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} \).

Рассмотрим отдельно каждый множитель. Первое число под корнем равно 32, второе равно 2. Согласно основному свойству квадратных корней: произведение квадратных корней равно квадратному корню из произведения подкоренных выражений, то есть:

\( \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32 \cdot 2} \).

Вычислим произведение под корнем: \( 32 \cdot 2 = 64 \). Таким образом, получаем:

\( \sqrt{64} \).

Известно, что \( 64 = 8^2 \). Следовательно, \( \sqrt{64} = 8 \), так как квадратный корень из квадрата числа даёт само число, если речь идёт о положительном значении.

Таким образом, всё выражение упрощается до числа 8.

Ответ: 8.

2) \( \sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3} \).

Применим то же свойство: произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений. Тогда:

\( \sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3} = \sqrt{(2^3 \cdot 3) \cdot (2^5 \cdot 3^3)} \).

Объединим степени одинаковых оснований: \( 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 \), а также \( 3^1 \cdot 3^3 = 3^{1+3} = 3^4 \). Получаем:

\( \sqrt{2^8 \cdot 3^4} \).

Теперь заметим, что под корнем находятся числа в чётных степенях. Тогда можно вынести степень за знак корня: \( \sqrt{2^8} = 2^4 \), так как \( (2^4)^2 = 2^8 \). Аналогично, \( \sqrt{3^4} = 3^2 \), так как \( (3^2)^2 = 3^4 \). Таким образом:

\( \sqrt{2^8 \cdot 3^4} = 2^4 \cdot 3^2 \).

Посчитаем: \( 2^4 = 16 \), \( 3^2 = 9 \). Перемножим: \( 16 \cdot 9 = 144 \).

Следовательно, исходное выражение равно 144.

Ответ: 144.

3) \( \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} \).

Используем свойство: частное квадратных корней равно квадратному корню из частного подкоренных выражений, то есть:

\( \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} \).

Выполним деление под корнем: \( \frac{98}{2} = 49 \). Тогда:

\( \sqrt{49} \).

Теперь найдём квадратный корень: \( \sqrt{49} = 7 \), так как \( 7^2 = 49 \).

Значит, всё выражение равно 7.

Ответ: 7.

4) \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}} \).

Сначала упростим знаменатель: \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 15} = \sqrt{45} \). Тогда выражение принимает вид:

\( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}} \).

Теперь упростим дробь под корнем. Заметим, что 45 можно разложить на множители: \( 45 = 9 \cdot 5 \). Подставим это в корень:

\( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}} \).

Так как в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель \( \sqrt{5} \), то сокращаем его:

\( \frac{1}{\sqrt{9}} \).

\( \sqrt{9} = 3 \). Следовательно, получаем:

\( \frac{1}{3} \).

Таким образом, исходное выражение упрощается до \( \frac{1}{3} \).

Ответ: \( \frac{1}{3} \).