ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.37 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вынесите множитель из-под знака корня:

1) \( \sqrt{-m^9} \);

2) \( \sqrt{a^4 b^{13}}, \quad \text{если} \, a \neq 0; \)

3) \( \sqrt{4x^6 y}, \quad \text{если} \, x < 0; \)

4) \( \sqrt{45x^3 y^{14}}, \quad \text{если} \, y < 0. \)

Вынесите множитель из-под знака корня:

1) \( \sqrt{-m^9} \);

Так как \( (-m)^9 \geq 0 \), тогда:

\( -m \geq 0 \Rightarrow m \leq 0; \)

Выражения \( \sqrt{-m^9} \geq 0 \) и \( m^4 \geq 0 \), значит:

\( \sqrt{-m^9} = \sqrt{-m \cdot m^8} = \sqrt{-m \cdot (m^4)^2} = |m^4|\sqrt{-m} = m^4\sqrt{-m}; \)

Ответ: \( m^4\sqrt{-m} \).

2) \( \sqrt{a^4 b^{13}}, \quad \text{если} \, a \neq 0; \)

Так как \( (a^4 b^{13}) \geq 0 \), тогда:

\( b^{13} \geq 0 \Rightarrow b \geq 0; \)

Выражения \( \sqrt{a^4 b^{13}} \geq 0 \) и \( (a^2 b^6) \geq 0 \), значит:

\( \sqrt{a^4 b \cdot b^{12}} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot (b^6)^2 \cdot b} = |a^2 b^6| \sqrt{b} = a^2 b^6 \sqrt{b}; \)

Ответ: \( a^2 b^6 \sqrt{b} \).

3) \( \sqrt{4x^6 y}, \quad \text{если} \, x < 0; \)

Так как \( 4x^6 y \geq 0 \), тогда:

\( y \geq 0; \)

Выражения \( \sqrt{4x^6 y} \geq 0 \) и \( x^3 < 0 \), значит:

\( \sqrt{4x^6 y} = \sqrt{2^2 \cdot (x^3)^2} \cdot y = |2x^3| \sqrt{y} = -2x^3 \sqrt{y}; \)

Ответ: \( -2x^3 \sqrt{y}. \)

4) \( \sqrt{45x^3 y^{14}}, \quad \text{если} \, y < 0; \)

Так как \( 45x^3 y^{14} \geq 0 \), тогда:

\( x^3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0; \)

Выражения \( \sqrt{45x^3 y^{14}} \geq 0 \) и \( (xy^7) \leq 0 \), значит:

\( \sqrt{45x^3 y^{14}} = \sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot (y^7)^2} = |3xy^7| \sqrt{5x} = -3xy^7 \sqrt{5x}; \)

Ответ: \( -3xy^7 \sqrt{5x}. \)

Вынесите множитель из-под знака корня:

1) \( \sqrt{-m^9} \);

Для того, чтобы корректно вынести множитель из-под знака корня, нам необходимо понять, при каких условиях это возможно. Мы начинаем с анализа выражения:

Так как \( (-m)^9 \geq 0 \), то это выражение может быть определено при \( m \leq 0 \). То есть:

\( -m \geq 0 \Rightarrow m \leq 0; \)

Теперь анализируем выражение \( \sqrt{-m^9} \), при этом также используем свойства корней и степеней:

Так как \( m^4 \geq 0 \), то мы можем упростить выражение следующим образом:

\( \sqrt{-m^9} = \sqrt{-m \cdot m^8} = \sqrt{-m \cdot (m^4)^2} \)

Далее, мы можем вынести множитель \( m^4 \) за знак корня:

\( = |m^4| \sqrt{-m} \), где \( |m^4| \) — это модуль \( m^4 \), потому что корень из четной степени всегда положителен.

Ответ: \( m^4 \sqrt{-m} \).

2) \( \sqrt{a^4 b^{13}}, \quad \text{если} \, a \neq 0; \)

Аналогично, нам необходимо рассмотреть выражение \( \sqrt{a^4 b^{13}} \), при этом, если \( a \neq 0 \), то:

Так как \( (a^4 b^{13}) \geq 0 \), то:

\( b^{13} \geq 0 \Rightarrow b \geq 0; \)

Теперь рассматриваем выражение \( \sqrt{a^4 b^{13}} \). Мы можем разложить его на множители и вынести каждый из них за знак корня:

\( \sqrt{a^4 b^{13}} = \sqrt{a^4 \cdot b^{13}} \)

Так как корень из произведения равен произведению корней, мы можем записать это как:

\( = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^{13}} \)

Теперь у нас есть два корня, которые можно упростить:

\( \sqrt{a^4} = a^2 \), так как степень 4 — четная, а \( \sqrt{b^{13}} = b^6 \sqrt{b} \), так как мы выделили полную степень 12, а оставшуюся степень 1 оставили под знаком корня.

Таким образом, получаем:

Ответ: \( a^2 b^6 \sqrt{b} \).

3) \( \sqrt{4x^6 y}, \quad \text{если} \, x < 0; \)

Рассмотрим выражение \( \sqrt{4x^6 y} \), где мы должны учесть, что переменная \( x \) отрицательна, а переменная \( y \) может быть положительной или отрицательной. В данном случае \( y \geq 0 \), так как это условие задачи:

Так как \( 4x^6 y \geq 0 \), то мы можем продолжить преобразования, учитывая знак \( x^3 \), который будет отрицательным при \( x < 0 \). Из этого следует:

\( y \geq 0; \)

Теперь рассмотрим выражение \( \sqrt{4x^6 y} \), используя свойство корня:

\( \sqrt{4x^6 y} = \sqrt{2^2 \cdot (x^3)^2} \cdot y \)

Так как \( x^3 \) отрицательно, нам нужно будет взять его модуль, поэтому:

\( = |2x^3| \sqrt{y} = -2x^3 \sqrt{y}; \)

Ответ: \( -2x^3 \sqrt{y}. \)

4) \( \sqrt{45x^3 y^{14}}, \quad \text{если} \, y < 0; \)

Теперь рассмотрим выражение \( \sqrt{45x^3 y^{14}} \), где переменная \( y \) отрицательна. Нам необходимо учесть, что выражение под знаком корня должно быть больше или равно нулю для того, чтобы извлечь корень из отрицательных чисел. Таким образом:

Так как \( 45x^3 y^{14} \geq 0 \), то мы должны решить неравенство для \( x^3 \), чтобы получить положительное значение под корнем:

\( x^3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0; \)

Рассмотрим выражение \( \sqrt{45x^3 y^{14}} \). Здесь у нас есть \( x^3 \) и \( y^{14} \), так что мы можем представить это выражение как произведение:

\( \sqrt{45x^3 y^{14}} = \sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot (y^7)^2} \)

Далее, извлекаем квадратный корень из полных степеней:

\( = |3xy^7| \sqrt{5x} = -3xy^7 \sqrt{5x}; \)

Ответ: \( -3xy^7 \sqrt{5x}. \)