ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:

1) \(\sqrt[3]{343}\);

2) \(\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}\);

3) \(0{,}5\sqrt[3]{-64}\);

4) \(\sqrt[100]{49^{50}}\)?

1) \(\sqrt[3]{343}=\sqrt[3]{7^{3}}=7\).
Ответ: 7.

2) \(\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}=\sqrt[4]{\frac{7\cdot81+58}{81}}=\sqrt[4]{\frac{625}{81}}=\sqrt[4]{\frac{5^{4}}{3^{4}}}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\).
Ответ: \(1\frac{2}{3}\).

3) \(0{,}5\sqrt[3]{-64}=0{,}5\cdot\bigl(-\sqrt[3]{64}\bigr)=-0{,}5\cdot\sqrt[3]{4^{3}}=-0{,}5\cdot4=-2\).
Ответ: −2.

4) \(\sqrt[100]{49^{50}}=\sqrt[100]{(7^{2})^{50}}=\sqrt[100]{7^{2\cdot50}}=\sqrt[100]{7^{100}}=7\).
Ответ: 7.

1) \(\sqrt[3]{343}\).

\(343=7^{3}\Rightarrow \sqrt[3]{343}=\sqrt[3]{7^{3}}=7\).

Проверка: \(7^{3}=343\). Ответ: 7.

2) \(\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}\).

Сначала переводим в неправильную дробь:
\(7\frac{58}{81}=7+\frac{58}{81}=\frac{7\cdot81+58}{81}=\frac{567+58}{81}=\frac{625}{81}\).

Теперь извлекаем корень по числителю и знаменателю:
\(\sqrt[4]{\frac{625}{81}}=\frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}
=\frac{\sqrt[4]{5^{4}}}{\sqrt[4]{3^{4}}}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\).

Альтернатива через степени: \(\left(\frac{625}{81}\right)^{\frac14}
=\frac{625^{\frac14}}{81^{\frac14}}=\frac{5}{3}\). Ответ: \(1\frac{2}{3}\).

3) \(0{,}5\sqrt[3]{-64}\).

Используем нечётный корень: \(\sqrt[3]{-64}=-\sqrt[3]{64}\).
Поскольку \(64=4^{3}\), имеем \(\sqrt[3]{64}=4\).

Тогда \(0{,}5\sqrt[3]{-64}=0{,}5\cdot(-4)=-2\).

Проверка: \( (-2)\cdot2=-4\) неверная проверка; корректно: \(0{,}5\cdot(-4)=-2\). Ответ: −2.

4) Рассмотрим выражение \( \sqrt[100]{49^{50}} \).

Шаг 1. Представим 49 как степень семёрки. Поскольку \(49=7^{2}\), имеем
\(49^{50}=(7^{2})^{50}=7^{2\cdot 50}=7^{100}\) (правило степеней \((a^{m})^{n}=a^{mn}\)).

Шаг 2. Извлечём 100-й корень. Тогда
\(\sqrt[100]{49^{50}}=\sqrt[100]{7^{100}}\). Для чётного показателя корня выполняется свойство
\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\) при чётном \(n\). Так как \(7>0\), получаем
\(\sqrt[100]{7^{100}}=7\).

Проверка через дробную степень.
\(\bigl(49^{50}\bigr)^{\frac{1}{100}}=49^{\frac{50}{100}}=49^{\frac{1}{2}}=\sqrt{49}=7\).

Ответ: 7.