ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вынести множитель из-под знака корня:

1) \( \sqrt[3]{16} \).
Разложим число 16 на множители: \(16 = 8 \cdot 2\). Тогда получаем:
\( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} \).
Так как \(8 = 2^3\), перепишем:
\( \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} \).
Извлекаем полный куб:
\( \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} \).

Ответ: \(2\sqrt[3]{2}.\)

2) \( \sqrt[4]{162} \).
Разложим число 162 как \(162 = 81 \cdot 2\). Тогда:
\( \sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} \).
Так как \(81 = 3^4\), получаем:
\( \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} \).
Извлекаем полный четвёртый корень:
\( \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = 3\sqrt[4]{2} \).

Ответ: \(3\sqrt[4]{2}.\)

3) \( \sqrt[3]{250} \).
Разложим число 250 как \(250 = 125 \cdot 2\). Тогда:
\( \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} \).
Так как \(125 = 5^3\), получаем:
\( \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} \).
Извлекаем полный куб:
\( \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = 5\sqrt[3]{2} \).

Ответ: \(5\sqrt[3]{2}.\)

4) \( \sqrt[6]{7290} \).
Разложим число 7290 как \(7290 = 729 \cdot 10\). Тогда:
\( \sqrt[6]{7290} = \sqrt[6]{729 \cdot 10} \).
Так как \(729 = 3^6\), получаем:
\( \sqrt[6]{729 \cdot 10} = \sqrt[6]{3^6 \cdot 10} \).
Извлекаем полный шестой корень:
\( \sqrt[6]{3^6 \cdot 10} = 3\sqrt[6]{10} \).

Ответ: \(3\sqrt[6]{10}.\)

5) \( \sqrt[3]{40a^5} \).
Разложим 40 на множители: \(40 = 8 \cdot 5\). Тогда:
\( \sqrt[3]{40a^5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5 \cdot a^5} \).
Так как \(8 = 2^3\), а также \(a^5 = a^3 \cdot a^2\), перепишем:
\( \sqrt[3]{8 \cdot 5 \cdot a^5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot a^3 \cdot 5a^2} \).
Извлекаем полный куб:
\( \sqrt[3]{2^3 \cdot a^3 \cdot 5a^2} = 2a\sqrt[3]{5a^2} \).

Ответ: \(2a\sqrt[3]{5a^2}.\)

6) \( \sqrt[3]{-a^7} \).
Так как под корнем отрицательное число, выносим минус за знак:
\( \sqrt[3]{-a^7} = -\sqrt[3]{a^7} \).
Теперь \(a^7 = a^6 \cdot a\). Тогда:
\(-\sqrt[3]{a^7} = -\sqrt[3]{a^6 \cdot a} \).
Извлекаем полный куб:
\(-\sqrt[3]{a^6 \cdot a} = -a^2\sqrt[3]{a} \).

Ответ: \(-a^2\sqrt[3]{a}.\)

7) Возьмём:
\( \sqrt[3]{-54a^5b^9} \).
Выносим минус:
\( \sqrt[3]{-54a^5b^9} = -\sqrt[3]{54a^5b^9} \).
Разложим 54 на множители: \(54 = 27 \cdot 2\). Тогда:
\(-\sqrt[3]{54a^5b^9} = -\sqrt[3]{27 \cdot 2a^5b^9} \).
Теперь \(27 = 3^3\), \(a^5 = a^3 \cdot a^2\), \(b^9 = (b^3)^3\). Тогда:
\(-\sqrt[3]{27 \cdot 2a^5b^9} = -\sqrt[3]{3^3 \cdot a^3 \cdot b^9 \cdot 2a^2} \).
Извлекаем полный куб:
\(-\sqrt[3]{3^3 \cdot a^3 \cdot b^9 \cdot 2a^2} = -3ab^2\sqrt[3]{2a^2} \).

Ответ: \(-3ab^2\sqrt[3]{2a^2}.\)

8) Рассмотрим:
\( \sqrt[3]{-108a^7b^{10}} \).
Выносим минус:
\( \sqrt[3]{-108a^7b^{10}} = -\sqrt[3]{108a^7b^{10}} \).
Разложим 108: \(108 = 27 \cdot 4\). Тогда:
\(-\sqrt[3]{108a^7b^{10}} = -\sqrt[3]{27 \cdot 4 \cdot a^7 \cdot b^{10}} \).
Теперь \(27 = 3^3\), \(a^7 = a^6 \cdot a\), \(b^{10} = b^9 \cdot b = (b^3)^3 \cdot b\).
Тогда:
\(-\sqrt[3]{27 \cdot 4 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^9 \cdot b} = -\sqrt[3]{3^3 \cdot a^6 \cdot b^9 \cdot 4ab} \).
Извлекаем полный куб:
\(-\sqrt[3]{3^3 \cdot a^6 \cdot b^9 \cdot 4ab} = -3a^2b^3\sqrt[3]{4ab} \).

Ответ: \(-3a^2b^3\sqrt[3]{4ab}.\)