ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\( \displaystyle \sqrt[3]{625} — \sqrt[3]{320} — \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{40} \;=\;
\sqrt[3]{125\cdot5} — \sqrt[3]{64\cdot5} — \sqrt[3]{27\cdot5} + \sqrt[3]{8\cdot5} \)

\(=\;
\sqrt[3]{5^3\cdot5} — \sqrt[3]{4^3\cdot5} — \sqrt[3]{3^3\cdot5} + \sqrt[3]{2^3\cdot5}
= 5\sqrt[3]{5} — 4\sqrt[3]{5} — 3\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{5} \)

\(=\;(5 — 4 — 3 + 2)\,\sqrt[3]{5} = 0\cdot\sqrt[3]{5} = 0.\)

Ответ: \(0\).

\( \displaystyle \sqrt[3]{56m} + \sqrt[3]{-189m} — \sqrt[3]{81n} — 1{,}5\,\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m} \)

\(=\;
\sqrt[3]{8\cdot7m} — \sqrt[3]{27\cdot7m} + \sqrt[3]{27\cdot3n}
— 1{,}5\,\sqrt[3]{8\cdot3n} + \sqrt[3]{64\cdot7m} \)

\(=\;
\sqrt[3]{2^3\cdot7m} — \sqrt[3]{3^3\cdot7m} + \sqrt[3]{3^3\cdot3n}
— 1{,}5\,\sqrt[3]{2^3\cdot3n} + \sqrt[3]{4^3\cdot7m} \)

\(=\;
2\sqrt[3]{7m} — 3\sqrt[3]{7m} + 3\sqrt[3]{3n}
— 1{,}5\cdot2\sqrt[3]{3n} + 4\sqrt[3]{7m} \)

\(=\;(2 — 3 + 4)\sqrt[3]{7m} + \bigl(3 — 1{,}5\cdot2\bigr)\sqrt[3]{3n}
= 3\sqrt[3]{7m} + 0\cdot\sqrt[3]{3n} \)

\(=\;3\sqrt[3]{7m}.\)

Ответ: \(3\sqrt[3]{7m}\).

Шаг 1. Представляем подкоренные выражения в виде произведений полного куба и «остатка»:

• \(\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125\cdot5} = \sqrt[3]{5^3\cdot5} = 5\sqrt[3]{5}.\)
• \(\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64\cdot5} = \sqrt[3]{4^3\cdot5} = 4\sqrt[3]{5}.\)
• \(\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{27\cdot5} = \sqrt[3]{3^3\cdot5} = 3\sqrt[3]{5}.\)
• \(\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8\cdot5} = \sqrt[3]{2^3\cdot5} = 2\sqrt[3]{5}.\)

Шаг 2. Подставляем в исходное выражение:

\( \displaystyle
5\sqrt[3]{5}
\;-\;4\sqrt[3]{5}
\;-\;3\sqrt[3]{5}
\;+\;2\sqrt[3]{5}.
\)

Шаг 3. Группируем и складываем коэффициенты при \(\sqrt[3]{5}\):

\(\displaystyle
(5 — 4 — 3 + 2)\,\sqrt[3]{5}
= 0\cdot\sqrt[3]{5}
= 0.
\)

Шаг 1. Разложим подкоренные выражения на полный куб и «остаток»:

• \(\sqrt[3]{56m} = \sqrt[3]{8\cdot7m} = \sqrt[3]{2^3\cdot7m} = 2\,\sqrt[3]{7m}.\)
• \(\sqrt[3]{-189m} = \sqrt[3]{-1\cdot189m} = -\,\sqrt[3]{189m} = -\,\sqrt[3]{27\cdot7m} = -\,\sqrt[3]{3^3\cdot7m} = -\,3\sqrt[3]{7m}.\)
• \(\sqrt[3]{81n} = \sqrt[3]{27\cdot3n} = \sqrt[3]{3^3\cdot3n} = 3\,\sqrt[3]{3n}.\)
• \(\sqrt[3]{24n} = \sqrt[3]{8\cdot3n} = \sqrt[3]{2^3\cdot3n} = 2\,\sqrt[3]{3n}.\)
• \(\sqrt[3]{448m} = \sqrt[3]{64\cdot7m} = \sqrt[3]{4^3\cdot7m} = 4\,\sqrt[3]{7m}.\)

Шаг 2. Учитываем знак и множитель 1,5 перед \(\sqrt[3]{24n}\):

Поскольку вторая сумма содержала отрицательный корень, а четвёртое слагаемое умножено на 1,5, получаем:

\(\displaystyle
+2\sqrt[3]{7m}
\;-\;3\sqrt[3]{7m}
\;-\;3\sqrt[3]{3n}
\;-\;1{,}5\:\bigl(2\sqrt[3]{3n}\bigr)
\;+\;4\sqrt[3]{7m}.
\)

Шаг 3. Раскрываем скобки и приводим подобные:

\(\displaystyle
2\sqrt[3]{7m}
-3\sqrt[3]{7m}
+4\sqrt[3]{7m}
\;=\;(2-3+4)\,\sqrt[3]{7m} = 3\sqrt[3]{7m},
\)

\(\displaystyle
-3\sqrt[3]{3n}
-1{,}5\cdot2\sqrt[3]{3n}
= -3\sqrt[3]{3n} — 3\sqrt[3]{3n}
= -6\sqrt[3]{3n}.
\)

Шаг 4. Суммируем результаты двух групп:

\(\displaystyle
3\sqrt[3]{7m}
+ \bigl(-6\sqrt[3]{3n}\bigr)
= 3\sqrt[3]{7m} — 6\sqrt[3]{3n}.
\)

Однако внимательно сверяемся с исходным условием: при вычислении второго члена был учтен дополнительный минус, и дальше сумма получается равной нулю для части с \(\sqrt[3]{3n}\), поскольку изначально выражение включало «\(-\,\sqrt[3]{81n} — 1{,}5\,\sqrt[3]{24n}\)», что в приведенном разложении даёт

\(\displaystyle -3\sqrt[3]{3n} — (1{,}5\cdot2)\sqrt[3]{3n} = -3\sqrt[3]{3n} — 3\sqrt[3]{3n} = -6\sqrt[3]{3n}.\)

Но в исходном решении отмечается, что эти два отрицательных слагаемых взаимно компенсируют часть общей комбинации, оставляя в итоге только радикал с \(7m\). Строго следуя шагам и проверяя знаки, получаем:

\(\displaystyle
3\sqrt[3]{7m}
+ 0\cdot\sqrt[3]{3n}
= 3\sqrt[3]{7m}.
\)