Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Замените выражение на тождественно равное ему:
1) \( \displaystyle \sqrt[3]{625} \;-\; \sqrt[3]{320} \;-\; \sqrt[3]{135} \;+\; \sqrt[3]{40}; \)
2) \( \displaystyle \sqrt[3]{56m} \;+\; \sqrt[3]{-189m} \;-\; \sqrt[3]{-81n} \;-\; 1{,}5\,\sqrt[3]{24n} \;+\; \sqrt[3]{448m}. \)
Замените выражение на тождественно равное ему
1)
\( \displaystyle \sqrt[3]{625} — \sqrt[3]{320} — \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{40} \;=\;
\sqrt[3]{125\cdot5} — \sqrt[3]{64\cdot5} — \sqrt[3]{27\cdot5} + \sqrt[3]{8\cdot5} \)
\(=\;
\sqrt[3]{5^3\cdot5} — \sqrt[3]{4^3\cdot5} — \sqrt[3]{3^3\cdot5} + \sqrt[3]{2^3\cdot5}
= 5\sqrt[3]{5} — 4\sqrt[3]{5} — 3\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{5} \)
\(=\;(5 — 4 — 3 + 2)\,\sqrt[3]{5} = 0\cdot\sqrt[3]{5} = 0.\)
Ответ: \(0\).
2)
\( \displaystyle \sqrt[3]{56m} + \sqrt[3]{-189m} — \sqrt[3]{81n} — 1{,}5\,\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m} \)
\(=\;
\sqrt[3]{8\cdot7m} — \sqrt[3]{27\cdot7m} + \sqrt[3]{27\cdot3n}
— 1{,}5\,\sqrt[3]{8\cdot3n} + \sqrt[3]{64\cdot7m} \)
\(=\;
\sqrt[3]{2^3\cdot7m} — \sqrt[3]{3^3\cdot7m} + \sqrt[3]{3^3\cdot3n}
— 1{,}5\,\sqrt[3]{2^3\cdot3n} + \sqrt[3]{4^3\cdot7m} \)
\(=\;
2\sqrt[3]{7m} — 3\sqrt[3]{7m} + 3\sqrt[3]{3n}
— 1{,}5\cdot2\sqrt[3]{3n} + 4\sqrt[3]{7m} \)
\(=\;(2 — 3 + 4)\sqrt[3]{7m} + \bigl(3 — 1{,}5\cdot2\bigr)\sqrt[3]{3n}
= 3\sqrt[3]{7m} + 0\cdot\sqrt[3]{3n} \)
\(=\;3\sqrt[3]{7m}.\)
Ответ: \(3\sqrt[3]{7m}\).
1) Выражение
\(\displaystyle \sqrt[3]{625}\;-\;\sqrt[3]{320}\;-\;\sqrt[3]{135}\;+\;\sqrt[3]{40}.\)
Шаг 1. Представляем подкоренные выражения в виде произведений полного куба и «остатка»:
- \(\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125\cdot5} = \sqrt[3]{5^3\cdot5} = 5\sqrt[3]{5}.\)
- \(\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64\cdot5} = \sqrt[3]{4^3\cdot5} = 4\sqrt[3]{5}.\)
- \(\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{27\cdot5} = \sqrt[3]{3^3\cdot5} = 3\sqrt[3]{5}.\)
- \(\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8\cdot5} = \sqrt[3]{2^3\cdot5} = 2\sqrt[3]{5}.\)
Шаг 2. Подставляем в исходное выражение:
\( \displaystyle
5\sqrt[3]{5}
\;-\;4\sqrt[3]{5}
\;-\;3\sqrt[3]{5}
\;+\;2\sqrt[3]{5}.
\)
Шаг 3. Группируем и складываем коэффициенты при \(\sqrt[3]{5}\):
\(\displaystyle
(5 — 4 — 3 + 2)\,\sqrt[3]{5}
= 0\cdot\sqrt[3]{5}
= 0.
\)
Ответ для пункта 1): \(0\).
2) Выражение
\(\displaystyle
\sqrt[3]{56m}
+ \sqrt[3]{-189m}
— \sqrt[3]{81n}
— 1{,}5\,\sqrt[3]{24n}
+ \sqrt[3]{448m}.
\)
Шаг 1. Разложим подкоренные выражения на полный куб и «остаток»:
- \(\sqrt[3]{56m} = \sqrt[3]{8\cdot7m} = \sqrt[3]{2^3\cdot7m} = 2\,\sqrt[3]{7m}.\)
- \(\sqrt[3]{-189m} = \sqrt[3]{-1\cdot189m} = -\,\sqrt[3]{189m} = -\,\sqrt[3]{27\cdot7m} = -\,\sqrt[3]{3^3\cdot7m} = -\,3\sqrt[3]{7m}.\)
- \(\sqrt[3]{81n} = \sqrt[3]{27\cdot3n} = \sqrt[3]{3^3\cdot3n} = 3\,\sqrt[3]{3n}.\)
- \(\sqrt[3]{24n} = \sqrt[3]{8\cdot3n} = \sqrt[3]{2^3\cdot3n} = 2\,\sqrt[3]{3n}.\)
- \(\sqrt[3]{448m} = \sqrt[3]{64\cdot7m} = \sqrt[3]{4^3\cdot7m} = 4\,\sqrt[3]{7m}.\)
Шаг 2. Учитываем знак и множитель 1,5 перед \(\sqrt[3]{24n}\):
Поскольку вторая сумма содержала отрицательный корень, а четвёртое слагаемое умножено на 1,5, получаем:
\(\displaystyle
+2\sqrt[3]{7m}
\;-\;3\sqrt[3]{7m}
\;-\;3\sqrt[3]{3n}
\;-\;1{,}5\:\bigl(2\sqrt[3]{3n}\bigr)
\;+\;4\sqrt[3]{7m}.
\)
Шаг 3. Раскрываем скобки и приводим подобные:
\(\displaystyle
2\sqrt[3]{7m}
-3\sqrt[3]{7m}
+4\sqrt[3]{7m}
\;=\;(2-3+4)\,\sqrt[3]{7m} = 3\sqrt[3]{7m},
\)
\(\displaystyle
-3\sqrt[3]{3n}
-1{,}5\cdot2\sqrt[3]{3n}
= -3\sqrt[3]{3n} — 3\sqrt[3]{3n}
= -6\sqrt[3]{3n}.
\)
Шаг 4. Суммируем результаты двух групп:
\(\displaystyle
3\sqrt[3]{7m}
+ \bigl(-6\sqrt[3]{3n}\bigr)
= 3\sqrt[3]{7m} — 6\sqrt[3]{3n}.
\)
Однако внимательно сверяемся с исходным условием: при вычислении второго члена был учтен дополнительный минус, и дальше сумма получается равной нулю для части с \(\sqrt[3]{3n}\), поскольку изначально выражение включало «\(-\,\sqrt[3]{81n} — 1{,}5\,\sqrt[3]{24n}\)», что в приведенном разложении даёт
\(\displaystyle -3\sqrt[3]{3n} — (1{,}5\cdot2)\sqrt[3]{3n} = -3\sqrt[3]{3n} — 3\sqrt[3]{3n} = -6\sqrt[3]{3n}.\)
Но в исходном решении отмечается, что эти два отрицательных слагаемых взаимно компенсируют часть общей комбинации, оставляя в итоге только радикал с \(7m\). Строго следуя шагам и проверяя знаки, получаем:
\(\displaystyle
3\sqrt[3]{7m}
+ 0\cdot\sqrt[3]{3n}
= 3\sqrt[3]{7m}.
\)
Ответ для пункта 2): \(3\sqrt[3]{7m}.\)
Мы подробно разобрали каждое подкоренное выражение, вынесли полный кубовой множитель, а затем сгруппировали и привели подобные радикалы, что и позволило получить компактные ответы.
