Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение
1) \(\displaystyle \sqrt[3]{54} \;-\; 3\sqrt[3]{16} \;+\; 5\sqrt[3]{128} \;+\; \sqrt[3]{2000}\)
2) \(\displaystyle \sqrt[4]{625a} + 3\sqrt[4]{16a} — 2\sqrt[4]{81a} + 4\sqrt[4]{1296a}\)
Упростите выражение
1) \(\displaystyle \sqrt[3]{54} \;-\; 3\sqrt[3]{16} \;+\; 5\sqrt[3]{128} \;+\; \sqrt[3]{2000}\)
Шаг 1. Разложение подкоренных чисел на полный куб и остаток:
- \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot2} = 3\sqrt[3]{2}.\)
- \(3\sqrt[3]{16} = 3\,\sqrt[3]{8\cdot2} = 3\,(2\sqrt[3]{2}) = 6\sqrt[3]{2}.\)
- \(5\sqrt[3]{128} = 5\,\sqrt[3]{64\cdot2} = 5\,(4\sqrt[3]{2}) = 20\sqrt[3]{2}.\)
- \(\sqrt[3]{2000} = \sqrt[3]{1000\cdot2} = 10\sqrt[3]{2}.\)
Шаг 2. Подстановка в исходное выражение:
\(\displaystyle
3\sqrt[3]{2}
— 6\sqrt[3]{2}
+20\sqrt[3]{2}
+10\sqrt[3]{2}.
\)
Шаг 3. Суммирование коэффициентов:
\(\displaystyle
(3 — 6 + 20 + 10)\,\sqrt[3]{2}
= 27\,\sqrt[3]{2}.
\)
Ответ для пункта 1): \(27\sqrt[3]{2}.\)
2) \(\displaystyle \sqrt[4]{625a} \;+\; 3\sqrt[4]{16a} \;-\; 2\sqrt[4]{81a} \;+\; 4\sqrt[4]{1296a}\)
Шаг 1. Представление подкоренных выражений через полный четвёртый степенной множитель:
- \(\sqrt[4]{625a} = \sqrt[4]{5^4\cdot a} = 5\sqrt[4]{a}.\)
- \(3\sqrt[4]{16a} = 3\,\sqrt[4]{2^4\cdot a} = 3\,(2\sqrt[4]{a}) = 6\sqrt[4]{a}.\)
- \(-2\sqrt[4]{81a} = -2\,\sqrt[4]{3^4\cdot a} = -2\,(3\sqrt[4]{a}) = -6\sqrt[4]{a}.\)
- \(4\sqrt[4]{1296a} = 4\,\sqrt[4]{6^4\cdot a} = 4\,(6\sqrt[4]{a}) = 24\sqrt[4]{a}.\)
Шаг 2. Подстановка и упрощение:
\(\displaystyle
5\sqrt[4]{a}
+ 6\sqrt[4]{a}
— 6\sqrt[4]{a}
+24\sqrt[4]{a}
= (5 + 6 — 6 + 24)\,\sqrt[4]{a}
= 29\sqrt[4]{a}.
\)
Ответ для пункта 2): \(29\sqrt[4]{a}.\)
Мы подробно продемонстрировали, как извлечение полного степенного множителя из-под радикала и последующее сложение подобных членов приводит к компактному результату.
Упрощение выражений с радикалами:
В данном материале мы подробно рассмотрим два выражения, содержащих корни разных степеней, и научимся шаг за шагом их упрощать. Для этого потребуется:
- Понять фундаментальное свойство радикалов, позволяющее выносить полный степенной множитель из-под корня;
- Разложить каждый подкоренной радиканд на произведение полного степенного множителя и «остатка»;
- Найти коэффициенты перед однотипными радикалами и выполнить их сложение или вычитание;
- Формально оформить результат в виде компактного радикального выражения.
Основное свойство радикала n-й степени выглядит так:
a \,\sqrt[n]{B}
\;=\;
\sqrt[n]{a^n \,B},
\quad
\text{где \(a\ge0\) и \(B\ge0\).}
\]
Проиллюстрируем применение этого правила к конкретным примерам.
1) Пример с кубическими корнями
\(\displaystyle E_1 = \sqrt[3]{54} \;-\; 3\,\sqrt[3]{16} \;+\; 5\,\sqrt[3]{128} \;+\; \sqrt[3]{2000}.\)
Шаг 1. Найдём полный куб внутри каждого радиканда и запишем остаток:
- \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot2} = \sqrt[3]{3^3\cdot2} = 3\,\sqrt[3]{2}.\)
- \(\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8\cdot2} = \sqrt[3]{2^3\cdot2} = 2\,\sqrt[3]{2},\) поэтому \(3\sqrt[3]{16} = 3\cdot(2\sqrt[3]{2}) = 6\sqrt[3]{2}.\)
- \(\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64\cdot2} = \sqrt[3]{4^3\cdot2} = 4\,\sqrt[3]{2},\) поэтому \(5\sqrt[3]{128} = 5\cdot(4\sqrt[3]{2}) = 20\sqrt[3]{2}.\)
- \(\sqrt[3]{2000} = \sqrt[3]{1000\cdot2} = \sqrt[3]{10^3\cdot2} = 10\,\sqrt[3]{2}.\)
Таким образом все радикалы оказались «одного типа» \( \sqrt[3]{2} \), и нам осталось лишь сложить соответствующие числовые коэффициенты.
Шаг 2. Суммирование коэффициентов:
Запишем преобразованное выражение:
E_1 = 3\sqrt[3]{2} — 6\sqrt[3]{2} + 20\sqrt[3]{2} + 10\sqrt[3]{2}.
\]
Складываем числа \(3 — 6 + 20 + 10 = 27\). Получаем:
E_1 = 27\,\sqrt[3]{2}.
\]
Ответ для пункта 1:
\(\displaystyle 27\sqrt[3]{2}.\)
2) Пример с четвёртыми корнями и переменной
\(\displaystyle E_2 = \sqrt[4]{625a} \;+\; 3\,\sqrt[4]{16a} \;-\; 2\,\sqrt[4]{81a} \;+\; 4\,\sqrt[4]{1296a}.\)
Шаг 1. Представим каждый радиканд в виде \(k^4 \cdot a\):
- \(\sqrt[4]{625a} = \sqrt[4]{5^4\,a} = 5\,\sqrt[4]{a}.\)
- \(\sqrt[4]{16a} = \sqrt[4]{2^4\,a} = 2\,\sqrt[4]{a},\) тогда \(3\sqrt[4]{16a} = 3\cdot(2\sqrt[4]{a}) = 6\sqrt[4]{a}.\)
- \(\sqrt[4]{81a} = \sqrt[4]{3^4\,a} = 3\,\sqrt[4]{a},\) тогда \(-2\sqrt[4]{81a} = -2\cdot(3\sqrt[4]{a}) = -6\sqrt[4]{a}.\)
- \(\sqrt[4]{1296a} = \sqrt[4]{6^4\,a} = 6\,\sqrt[4]{a},\) тогда \(4\sqrt[4]{1296a} = 4\cdot(6\sqrt[4]{a}) = 24\sqrt[4]{a}.\)
Каждый радикал свёлся к виду \(\sqrt[4]{a}\) с определённым коэффициентом.
Шаг 2. Сложение числовых коэффициентов:
Собираем все члены вместе:
E_2 = 5\sqrt[4]{a} + 6\sqrt[4]{a} — 6\sqrt[4]{a} + 24\sqrt[4]{a}.
\]
Складываем: \(5 + 6 — 6 + 24 = 29\). Поэтому
E_2 = 29\,\sqrt[4]{a}.
\]
Ответ для пункта 2:
\(\displaystyle 29\sqrt[4]{a}.\)
В обоих примерах продемонстрирован универсальный приём работы с радикалами:
- Выделение полного степенного множителя из-под корня;
- Приведение к общему виду радикала равной степени;
- Простое алгебраическое сложение (или вычитание) числовых коэффициентов.
Такой подход позволяет превращать громоздкие подкоренные выражения в компактные и легко интерпретируемые ответы.
