ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\( \left( \sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b} \right) \)

Упростите выражение:

\( \left( \sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b} \right) \)

\( = \left( \sqrt[6]{a^2} — \sqrt[6]{ab} + \sqrt[6]{b^2} \right) \left( \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b} \right) \)

\( = \left( \sqrt[6]{a^3} + \sqrt[6]{b^3} \right) = \sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{b^3} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)

Ответ: \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \).

Упростим выражение:

\[
\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right).
\]

Шаг 1. Приведём все корни к одинаковому показателю. Заметим, что

\(\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[6]{a^2},\ \sqrt[3]{b}=b^{\frac{1}{3}}=\sqrt[6]{b^2},\ \sqrt[6]{ab}=(ab)^{\frac{1}{6}}\). Тогда выражение примет вид:

\[
\left(\sqrt[6]{a^2}-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[6]{b^2}\right)\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right).
\]

Шаг 2. Обозначим \(x=\sqrt[6]{a},\ y=\sqrt[6]{b}\). Тогда:

\[
\sqrt[6]{a^2}=x^2,\quad \sqrt[6]{b^2}=y^2,\quad \sqrt[6]{ab}=xy.
\]

Подставим это в выражение:

\[
(x^2-xy+y^2)(x+y).
\]

Шаг 3. Заметим, что это стандартное тождество:

\[
(x^2-xy+y^2)(x+y)=x^3+y^3.
\]

Действительно, раскроем скобки:

\[
(x^2-xy+y^2)(x+y)=\]

\[=x^2\cdot x+x^2\cdot y-xy\cdot x-xy\cdot y+y^2\cdot x+y^2\cdot y.
\]

\[
=x^3+x^2y-x^2y-xy^2+xy^2+y^3=x^3+y^3.
\]

Шаг 4. Вернёмся к исходным переменным. Так как \(x=\sqrt[6]{a}\), имеем:

Следовательно:

\[
x^3+y^3=\sqrt{a}+\sqrt{b}.
\]

Окончательный результат:

\[
\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right)=\sqrt{a}+\sqrt{b}.
\]

Ответ: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).