ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.37 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( \sqrt[8]{x^8} = x + 8; \)

2) \( \sqrt[12]{x^{12}} = 6x — 10. \)

Решить уравнение:

1. \[
   \sqrt[8]{x^8} = x + 8;
   \]\[
   |x| = x + 8;
   \]

   Если \( x \geq 0 \), тогда:

   \[
   x = x + 8;
   \]

   \[
   0x = 8;
   \]

   Если \( x < 0 \), тогда:

   \[
   -x = x + 8;
   \]

   \[
   -2x = 8;
   \]

   \[
   x = -4;
   \]

   Ответ: \(-4\)

2. \[
   \sqrt[12]{x^{12}} = 6x — 10;
   \]\[
   |x| = 6x — 10;
   \]

   Если \( x \geq 0 \), тогда:

   \[
   x = 6x — 10;
   \]

   \[
   -5x = -10;
   \]

   \[
   x = 2;
   \]

   Если \( x < 0 \), тогда:

   \[
   -x = 6x — 10;
   \]

   \[
   -7x = -10;
   \]

   \[
   x = \frac{10}{7} \approx 1.43;
   \]

   Ответ: \(2\).

Решение уравнений подробно:

1. Уравнение:\[
   \sqrt[8]{x^8} = x + 8
   \]Известно, что \(\sqrt[8]{x^8} = |x|\), так как восьмой корень из восьмой степени числа равен абсолютному значению этого числа.

   Перепишем уравнение в виде:

   \[
   |x| = x + 8
   \]

   Рассмотрим два случая в зависимости от знака \(x\):

   Случай 1: \(x \geq 0\)

   Тогда \(|x| = x\), подставляем в уравнение:

   \[
   x = x + 8
   \]

   Вычитаем \(x\) с обеих сторон:

   \[
   0 = 8
   \]

   Получили противоречие, значит решений в этом случае нет.

   Случай 2: \(x < 0\)

   Тогда \(|x| = -x\), подставляем:

   \[
   -x = x + 8
   \]

   Переносим все члены с \(x\) в одну сторону:

   \[
   -x — x = 8
   \]

   \[
   -2x = 8
   \]

   Делим обе части на \(-2\):

   \[
   x = -4
   \]

   Проверяем условие \(x < 0\), оно выполняется, значит \(x = -4\) — решение уравнения.

   Ответ: \(x = -4\).

2. Уравнение:\[
   \sqrt[12]{x^{12}} = 6x — 10
   \]Поскольку \(\sqrt[12]{x^{12}} = |x|\), перепишем уравнение как:

   \[
   |x| = 6x — 10
   \]

   Рассмотрим два случая:

   Случай 1: \(x \geq 0\)

   Тогда \(|x| = x\), подставляем:

   \[
   x = 6x — 10
   \]

   Переносим все с \(x\) в одну сторону:

   \[
   x — 6x = -10
   \]

   \[
   -5x = -10
   \]

   Делим обе части на \(-5\):

   \[
   x = 2
   \]

   Проверяем условие \(x \geq 0\), оно выполняется, значит \(x = 2\) — решение.

   Случай 2: \(x < 0\)

   Тогда \(|x| = -x\), подставляем:

   \[
   -x = 6x — 10
   \]

   Переносим все с \(x\) в одну сторону:

   \[
   -x — 6x = -10
   \]

   \[
   -7x = -10
   \]

   Делим обе части на \(-7\):

   \[
   x = \frac{10}{7} \approx 1.43
   \]

   Проверяем условие \(x < 0\), но \(1.43 > 0\), значит это решение не подходит.

   Ответ: \(x = 2\).