ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.53 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните числа:

1) \( \sqrt{\frac{1}{3}} \) и \( \sqrt{\frac{1}{5}}; \)

2) \( \sqrt{32} \) и \( \sqrt{26}; \)

3) \( \sqrt{33} \) и \( 6; \)

4) \( 3\sqrt{5} \) и \( \sqrt{42}; \)

5) \( \sqrt{30} \) и \( 2\sqrt{7}; \)

6) \( 7\sqrt{\frac{1}{7}} \) и \( \frac{1}{2}\sqrt{20}. \)

Сравнить числа:

1. \[
   \sqrt{\frac{1}{3}} \text{ и } \sqrt{\frac{1}{5}};
   \]3 < 5, значит \(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\), значит \(\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}\);

   Ответ: \(\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}\).

2. \[
   \sqrt{32} \text{ и } \sqrt{26};
   \]32 > 26, значит \(\sqrt{32} > \sqrt{26}\);

   Ответ: \(\sqrt{32} > \sqrt{26}\).

3. \[
   \sqrt{33} \text{ и } 6;
   \]6 = \(\sqrt{36}\);

   33 < 36, значит \(\sqrt{33} < \sqrt{36}\);

   Ответ: \(\sqrt{33} < 6\).

4. \[
   3\sqrt{5} \text{ и } \sqrt{42};
   \]\(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\);

   45 > 42, значит \(\sqrt{45} > \sqrt{42}\);

   Ответ: \(3\sqrt{5} > \sqrt{42}\).

5. \[
   \sqrt{30} \text{ и } 2\sqrt{7};
   \]\(2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}\);

   30 > 28, значит \(\sqrt{30} > \sqrt{28}\);

   Ответ: \(\sqrt{30} > 2\sqrt{7}\).

6. \[
   7\sqrt{\frac{1}{7}} \text{ и } \frac{1}{2}\sqrt{20};
   \]\(7\sqrt{\frac{1}{7}} = 7 \cdot \sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{7}\);

   \(\frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 20} = \sqrt{5}\);

   7 > 5, значит \(\sqrt{7} > \sqrt{5}\);

   Ответ: \(7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}\).

Сравнить числа:

1. \[
   \sqrt{\frac{1}{3}} \text{ и } \sqrt{\frac{1}{5}}
   \]Поскольку \(3 < 5\), дробь \(\frac{1}{3}\) больше, чем \(\frac{1}{5}\), так как при увеличении знаменателя дробь уменьшается. Следовательно, \(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\). Поскольку функция корня квадратного является возрастающей для положительных чисел, то \(\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}\).

   Ответ: \(\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}\).

2. \[
   \sqrt{32} \text{ и } \sqrt{26}
   \]Число \(32\) больше \(26\), следовательно, квадратный корень из \(32\) больше квадратного корня из \(26\), так как корень — возрастающая функция.

   Ответ: \(\sqrt{32} > \sqrt{26}\).

3. \[
   \sqrt{33} \text{ и } 6
   \]Заметим, что \(6 = \sqrt{36}\). Число \(33\) меньше \(36\), значит \(\sqrt{33} < \sqrt{36} = 6\).

   Ответ: \(\sqrt{33} < 6\).

4. \[
   3\sqrt{5} \text{ и } \sqrt{42}
   \]Выразим \(3\sqrt{5}\) под одним корнем:

   \[
   3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}
   \]

   Поскольку \(45 > 42\), то \(\sqrt{45} > \sqrt{42}\).

   Ответ: \(3\sqrt{5} > \sqrt{42}\).

5. \[
   \sqrt{30} \text{ и } 2\sqrt{7}
   \]Выразим \(2\sqrt{7}\) под одним корнем:

   \[
   2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}
   \]

   Так как \(30 > 28\), то \(\sqrt{30} > \sqrt{28}\).

   Ответ: \(\sqrt{30} > 2\sqrt{7}\).

6. \[
   7\sqrt{\frac{1}{7}} \text{ и } \frac{1}{2}\sqrt{20}
   \]Сначала упростим каждое выражение.

   \[
   7\sqrt{\frac{1}{7}} = 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}
   \]

   Далее,

   \[
   \frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 20} = \sqrt{5}
   \]

   Поскольку \(7 > 5\), то \(\sqrt{7} > \sqrt{5}\).

   Ответ: \(7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}\).