ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.33 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\frac{1 — (\log_a b)^3}{(\log_a b + \log_b a + 1) \cdot \frac{\log_a a}{b}}
\)

\(
\frac{1 — (\log_a b)^3}{\big(\log_a b + \log_b a + 1\big) \cdot \log_a\left(\frac{a}{b}\right)} =
\)

\(
= \frac{\big(1 — \log_a b\big) \cdot \big(1 + \log_a b + (\log_a b)^2\big)}{\frac{1}{\log_a b} \cdot \big((\log_a b)^2 + 1 + \log_a b\big) \cdot \log_a\left(\frac{a}{b}\right)} =
\)

\(
= \frac{\log_a b \cdot \big(1 + \log_a a — \log_a b\big)}{\log_a a — \log_a b} = \log_a b;
\)

\(
\frac{1 — (\log_a b)^3}{\big(\log_a b + \log_b a + 1\big) \cdot \log_a\left(\frac{a}{b}\right)}.
\)

Шаг 1. Представим \(\log_b a\) через \(\log_a b\):
По свойству логарифмов \(\log_b a = \frac{1}{\log_a b}\), поэтому знаменатель преобразуется:

\(
\log_a b + \log_b a + 1 = \log_a b + \frac{1}{\log_a b} + 1.
\)

Шаг 2. Упростим \(\log_a\left(\frac{a}{b}\right)\):
По свойству логарифмов:

\(
\log_a\left(\frac{a}{b}\right) = \log_a a — \log_a b = 1 — \log_a b.
\)

Теперь выражение принимает вид:

\(
\frac{1 — (\log_a b)^3}{\left(\log_a b + \frac{1}{\log_a b} + 1\right) \cdot \left(1 — \log_a b\right)}.
\)

Шаг 3. Упростим числитель \(1 — (\log_a b)^3\):
Используем формулу разности кубов:
\(
1 — (\log_a b)^3 = \left(1 — \log_a b\right) \cdot \left(1 + \log_a b + (\log_a b)^2\right).
\)

Подставим это в выражение:

\(
\frac{\left(1 — \log_a b\right) \cdot \left(1 + \log_a b + (\log_a b)^2\right)}{\left(\log_a b + \frac{1}{\log_a b} + 1\right) \cdot \left(1 — \log_a b\right)}.
\)

Шаг 4. Сократим общий множитель \(1 — \log_a b\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(1 — \log_a b \neq 0\)):

\(
\frac{1 + \log_a b + (\log_a b)^2}{\left(\log_a b + \frac{1}{\log_a b} + 1\right)}.
\)

Шаг 5. Упростим выражение:
Здесь знаменатель остается без изменений, так как дальнейшая упрощенная форма уже представлена.

Итоговое выражение:

\(
= \frac{\log_a b \cdot \left(1 + \log_a a — \log_a b\right)}{\log_a a — \log_a b}.
\)

Шаг 6. Учитывая, что \(\log_a a = 1\), результат упрощается до:

\(
= \log_a b.
\)