ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Сравните с числом } 1 \text{ значения следующих выражений:}
\)
\begin{enumerate}
\item \(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3}}\)
\item \(\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}}\)
\item \(\left(\frac{6}{7}\right)^{-\frac{1}{2}}\)
\item \(\left(\frac{7}{6}\right)^{-\frac{1}{2}}\)
\item \(0.62^{-0.4}\)
\item \(3.14^{-0.4}\)
\end{enumerate}

Сравнить с единицей:
1) \(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3}} > 1\);

Функция возрастает:
\(4 > 3\), \(\frac{4}{3} > 1\), \(\frac{2}{3} > 0\);

2) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}} < 1\);

Функция убывает:
\(0 < \frac{3}{4} < 1\), \(\frac{2}{3} > 0\);

3) \(\left(\frac{6}{7}\right)^{-\frac{1}{2}} > 1\);

Функция убывает:
\(0 < \frac{6}{7} < 1\), \(-\frac{1}{2} < 0\);

4) \(\left(\frac{7}{6}\right)^{-\frac{1}{2}} < 1\);

Функция возрастает:
\(7 > 6\), \(\frac{7}{6} > 1\), \(-\frac{1}{2} < 0\);

5) \(0.62^{-0.4} > 1\);

Функция убывает:
\(0.62 < 1\), \(-0.4 < 0\);

6) \(3.14^{-0.4} < 1\);

Функция возрастает:
\(3.14 > 1\), \(-0.4 < 0\).

Сравнить с единицей:
1) \(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3}} > 1\).

Рассмотрим функцию:
\(\frac{4}{3} > 1\), так как числитель больше знаменателя (\(4 > 3\)).
Показатель степени \(\frac{2}{3} > 0\), и функция возрастает.
Следовательно, \(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3}} > 1\).

2) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}} < 1\).

Рассмотрим функцию:
\(\frac{3}{4} < 1\), так как числитель меньше знаменателя (\(3 < 4\)).
Показатель степени \(\frac{2}{3} > 0\), и функция убывает.
Следовательно, \(\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}} < 1\).

3) \(\left(\frac{6}{7}\right)^{-\frac{1}{2}} > 1\).

Рассмотрим функцию:
\(\frac{6}{7} < 1\), так как числитель меньше знаменателя (\(6 < 7\)).
Показатель степени \(-\frac{1}{2} < 0\), и функция убывает.
При возведении числа, меньшего единицы, в отрицательную степень результат становится больше единицы.
Следовательно, \(\left(\frac{6}{7}\right)^{-\frac{1}{2}} > 1\).

4) \(\left(\frac{7}{6}\right)^{-\frac{1}{2}} < 1\).

Рассмотрим функцию:
\(\frac{7}{6} > 1\), так как числитель больше знаменателя (\(7 > 6\)).
Показатель степени \(-\frac{1}{2} < 0\), и функция возрастает.
При возведении числа, большего единицы, в отрицательную степень результат становится меньше единицы.
Следовательно, \(\left(\frac{7}{6}\right)^{-\frac{1}{2}} < 1\).

5) \(0.62^{-0.4} > 1\).

Рассмотрим функцию:
\(0.62 < 1\), так как число меньше единицы.
Показатель степени \(-0.4 < 0\), и функция убывает.
При возведении числа, меньшего единицы, в отрицательную степень результат становится больше единицы.
Следовательно, \(0.62^{-0.4} > 1\).

6) \(3.14^{-0.4} < 1\).

Рассмотрим функцию:
\(3.14 > 1\), так как число больше единицы.
Показатель степени \(-0.4 < 0\), и функция возрастает.
При возведении числа, большего единицы, в отрицательную степень результат становится меньше единицы.
Следовательно, \(3.14^{-0.4} < 1\).