ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \((a\sqrt{5} + 2) \cdot (a\sqrt{5} — 2) — (a\sqrt{5} + 3)^2 =\)
\(
a^5 — 4 — a^5 — 6a\sqrt{5} — 9 = -6a\sqrt{5} — 13;
\)

2) \(
\frac{a^2\sqrt{7} — a\sqrt{7}}{a^4\sqrt{7} — a^3\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{7}(a\sqrt{7} — 1)}{a^3\sqrt{7}(a\sqrt{7} — 1)} = \frac{1}{a^2\sqrt{7}};
\)

3) \(
\frac{a^2\sqrt{3} — b^2\sqrt{2}}{(a\sqrt{3} + b\sqrt{2})^2} + 1 = \frac{(a\sqrt{3} — b\sqrt{2})(a\sqrt{3} + b\sqrt{2})}{(a\sqrt{3} + b\sqrt{2})^2} + 1 = \frac{a\sqrt{3} + a\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + b\sqrt{2}} = \frac{2a\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + b\sqrt{2}};
\)

4) \(
\frac{a^3\sqrt{24} — 1}{a^3\sqrt{81} + 1} = \frac{a^2\sqrt(3) — 1}{a^3\sqrt(3) — 1} = \frac{(a\sqrt(3) — 1)(a\sqrt(3) + 1)}{(a\sqrt(3) + 1)(a^2\sqrt(3) — a\sqrt(3) + 1)} = \frac{a\sqrt(3) + 1}{a^2\sqrt(3) — a\sqrt(3) + 1} = (a\sqrt(3) + 1) — (a^2\sqrt(3) — a\sqrt(3) + 1) = 2a\sqrt(3) — a^2\sqrt(3).
\)

1)

\((a\sqrt{5} + 2) \cdot (a\sqrt{5} — 2) — (a\sqrt{5} + 3)^2\)

Первый шаг — раскрываем произведение \((a\sqrt{5} + 2) \cdot (a\sqrt{5} — 2)\) по формуле разности квадратов:

\((a\sqrt{5} + 2)(a\sqrt{5} — 2) = (a\sqrt{5})^2 — 2^2 = a^2 \cdot 5 — 4 = 5a^2 — 4\)

Теперь раскроем квадрат \((a\sqrt{5} + 3)^2\):

\((a\sqrt{5} + 3)^2 = (a\sqrt{5})^2 + 2 \cdot a\sqrt{5} \cdot 3 + 3^2 = 5a^2 + 6a\sqrt{5} + 9\)

Вычитаем из первого выражения второе:

\((5a^2 — 4) — (5a^2 + 6a\sqrt{5} + 9) = 5a^2 — 4 — 5a^2 — 6a\sqrt{5} — 9 = -6a\sqrt{5} — 13\)

Ответ:

\(-6a\sqrt{5} — 13\)

2)

\(\frac{a^2\sqrt{7} — a\sqrt{7}}{a^4\sqrt{7} — a^3\sqrt{7}}\)

В числителе выносим общий множитель \(a\sqrt{7}\):

\(a^2\sqrt{7} — a\sqrt{7} = a\sqrt{7}(a — 1)\)

В знаменателе также выносим общий множитель \(a^3\sqrt{7}\):

\(a^4\sqrt{7} — a^3\sqrt{7} = a^3\sqrt{7}(a — 1)\)

Теперь сокращаем общий множитель \((a — 1)\) (при условии, что \(a \neq 1\)):

\(\frac{a\sqrt{7}(a — 1)}{a^3\sqrt{7}(a — 1)} = \frac{a\sqrt{7}}{a^3\sqrt{7}}\)

Сокращаем \(a\sqrt{7}\):

\(\frac{1}{a^2\sqrt{7}}\)

Ответ:

\(\frac{1}{a^2\sqrt{7}}\)

3)

\(\frac{a^2\sqrt{3} — b^2\sqrt{2}}{(a\sqrt{3} + b\sqrt{2})^2} + 1\)

В числителе раскладываем разность квадратов:

\(a^2\sqrt{3} — b^2\sqrt{2} = (a\sqrt{3} — b\sqrt{2})(a\sqrt{3} + b\sqrt{2})\)

Подставляем это в дробь:

\(\frac{(a\sqrt{3} — b\sqrt{2})(a\sqrt{3} + b\sqrt{2})}{(a\sqrt{3} + b\sqrt{2})^2} + 1\)

Сокращаем \(a\sqrt{3} + b\sqrt{2}\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{a\sqrt{3} — b\sqrt{2}}{a\sqrt{3} + b\sqrt{2}} + 1\)

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{a\sqrt{3} — b\sqrt{2} + a\sqrt{3} + b\sqrt{2}}{a\sqrt{3} + b\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3} + a\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + b\sqrt{2}}\)

Складываем числитель:

\(\frac{2a\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + b\sqrt{2}}\)

Ответ:

\(\frac{2a\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + b\sqrt{2}}\)

4)

\(\frac{a^3\sqrt{24} — 1}{a^3\sqrt{81} + 1}\)

Упростим корни в числителе и знаменателе:

\(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}, \quad \sqrt{81} = 9\)

Подставляем:

\(\frac{a^3 \cdot 2\sqrt{6} — 1}{a^3 \cdot 9 + 1}\)

Выносим общий множитель в числителе и знаменателе:

\(\frac{a^2\sqrt{6} — 1}{a^3\sqrt{3} — 1}\)

Теперь раскладываем числитель и знаменатель. В числителе используем формулу разности квадратов:

\(a^2\sqrt{6} — 1 = (a\sqrt{6} — 1)(a\sqrt{6} + 1)\)

В знаменателе оставляем как есть:

\(a^3\sqrt{3} — 1 = (a\sqrt{3} + 1)(a^2\sqrt{3} — a\sqrt{3} + 1)\)

Подставляем обратно:

\(\frac{(a\sqrt{6} — 1)(a\sqrt{6} + 1)}{(a\sqrt{3} + 1)(a^2\sqrt{3} — a\sqrt{3} + 1)}\)

Сокращаем общий множитель \(a\sqrt{6} + 1\):

\(\frac{a\sqrt{6} — 1}{a^2\sqrt{3} — a\sqrt{3} + 1}\)

Теперь раскладываем разность:

\((a\sqrt{3} + 1) — (a^2\sqrt{3} — a\sqrt{3} + 1) = 2a\sqrt(3) — a^2\sqrt(3).

Ответ:

\(2a\sqrt{3} — a^2\sqrt{3}\)