ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
(a^{\sqrt{5}} + 2)(a^{\sqrt{5}} — 2) — (a^{\sqrt{5}} + 3)^2 = -6a^{\sqrt{5}} — 13
\)

2)
\(
\frac{a^{2\sqrt{7}} — a^{\sqrt{7}}}{a^{4\sqrt{7}} — a^{3\sqrt{7}}} = \frac{1}{a^{2\sqrt{7}}}
\)

3)
\(
\frac{a^{2\sqrt{3}} — b^{2\sqrt{2}}}{(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2} + 1 = \frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}
\)

4)
\(
\frac{a^{24^{1/3}} — 1}{a^{3^{1/3}} — 1} — \frac{a^{81^{1/3}} + 1}{a^{3^{1/3}} + 1} = 2
\)

1)
\(
(a^{\sqrt{5}} + 2)(a^{\sqrt{5}} — 2) — (a^{\sqrt{5}} + 3)^2
\)

Упростим:
\(
= (a^{\sqrt{5}})^2 — 2^2 — \left((a^{\sqrt{5}})^2 + 6a^{\sqrt{5}} + 9\right)
= a^{2\sqrt{5}} — 4 — a^{2\sqrt{5}} — 6a^{\sqrt{5}} — 9
= -6a^{\sqrt{5}} — 13
\)

Ответ:
\(
-6a^{\sqrt{5}} — 13
\)

2)
\(
\frac{a^{2\sqrt{7}} — a^{\sqrt{7}}}{a^{4\sqrt{7}} — a^{3\sqrt{7}}}
\)

Вынесем \(a^{\sqrt{7}}\) за скобки в числителе и знаменателе:
\(
= \frac{a^{\sqrt{7}}(a^{\sqrt{7}} — 1)}{a^{3\sqrt{7}}(a^{\sqrt{7}} — 1)}
\)

Сокращаем \(a^{\sqrt{7}} — 1\):
\(
= \frac{1}{a^{2\sqrt{7}}}
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{a^{2\sqrt{7}}}
\)

3)
\(
\frac{a^{2\sqrt{3}} — b^{2\sqrt{2}}}{(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2} + 1
\)

Используем формулу разности квадратов в числителе:
\(
= \frac{(a^{\sqrt{3}} — b^{\sqrt{2}})(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})}{(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2} + 1
= \frac{a^{\sqrt{3}} — b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} + 1
\)

Приводим к общему знаменателю:
\(
= \frac{(a^{\sqrt{3}} — b^{\sqrt{2}}) + (a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}
= \frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}
\)

Ответ:
\(
\frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}
\)

4)
\(
\frac{a^{24^{1/3}} — 1}{a^{3^{1/3}} — 1} — \frac{a^{81^{1/3}} + 1}{a^{3^{1/3}} + 1}
\)

Заметим, что \(24^{1/3} = 2 \cdot 3^{1/3}\) и \(81^{1/3} = 4 \cdot 3^{1/3}\). Тогда:

1. Первое выражение:
\(
\frac{a^{24^{1/3}} — 1}{a^{3^{1/3}} — 1} = a^2 + a + 1
\)

2. Второе выражение:
\(
\frac{a^{81^{1/3}} + 1}{a^{3^{1/3}} + 1} = a^4 — a^3 + a^2 — a + 1
\)

Вычитаем:
\(
(a^2 + a + 1) — (a^4 — a^3 + a^2 — a + 1) = -a^4 + a^3 — a
\)

Ответ:
\(
-a^4 + a^3 — a
\)