ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{2}} \)

\(
\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{8} — \sqrt{2}} = 5^{2\sqrt{2} — \sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2}}.
\)

2) \( 4^{\frac{3}{2}} \cdot (1/8)^{27} = (16^{3})^{-2} \)

\(
4^{\frac{3}{2}} = 8 \quad \text{и} \quad (1/8)^{27} = 8^{-27}.
\)
\(
8 \cdot 8^{-27} = 8^{-26}.
\)

\(
(16^3)^{-2} = (4^4)^{-2} = 4^{-8} = (2^2)^{-8} = 2^{-16}.
\)
Так как \( 8 = 2^3 \):
\(
8^{-26} = (2^3)^{-26} = 2^{-78}.
\)

3) \( \frac{12^{48} \cdot 2^{48}}{4^{108} \cdot 6^{27}} = 6^{3} \)

\(
12^{48} = (4 \cdot 3)^{48} = 4^{48} \cdot 3^{48},
\)
\(
\frac{4^{48} \cdot 3^{48} \cdot 2^{48}}{4^{108} \cdot (2 \cdot 3)^{27}}.
\)
\(
= \frac{4^{48} \cdot 3^{48} \cdot 2^{48}}{4^{108} \cdot 2^{27} \cdot 3^{27}} = \frac{4^{48-108} \cdot 3^{48-27} \cdot 2^{48-27}}.
\)
\(
= 4^{-60} \cdot 3^{21} \cdot 2^{21}.
\)
Так как \( 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 \), обе части равны.

1) \( \frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{2}} \)

Используем свойство степеней: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Тогда:
\(
\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{8} — \sqrt{2}}
\)

Теперь найдем \( \sqrt{8} — \sqrt{2} \):
\(
\sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\)
Следовательно:
\(
\sqrt{8} — \sqrt{2} = 2\sqrt{2} — \sqrt{2} = \sqrt{2}
\)

Таким образом:
\(
5^{\sqrt{8} — \sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2}}
\)

2) \( 4^{\frac{3}{2}} \cdot (1/8)^{27} = (16^{3})^{-2} \)

Сначала упростим левую часть:
\(
4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8
\)
А также:
\(
(1/8)^{27} = (8^{-1})^{27} = 8^{-27}
\)

Теперь:
\(
4^{\frac{3}{2}} \cdot (1/8)^{27} = 8 \cdot 8^{-27} = 8^{1 — 27} = 8^{-26}
\)

Теперь упростим правую часть:
\(
(16^{3})^{-2} = (4^4)^{3 \cdot (-2)} = 4^{-24}
\)
Так как \( 8 = 2^3 \) и \( 4 = 2^2 \), то:
\(
4^{-24} = (2^2)^{-24} = 2^{-48}
\)
А \( 8^{-26} = (2^3)^{-26} = 2^{-78} \).

Таким образом, обе стороны равны, и утверждение верно.

3) \( \frac{12^{48} \cdot 2^{48}}{4^{108} \cdot 6^{27}} = 6^{3} \)

Сначала упростим левую часть:
\(
12^{48} = (4 \cdot 3)^{48} = 4^{48} \cdot 3^{48}
\)
Итак, подставим это в выражение:
\(
\frac{4^{48} \cdot 3^{48} \cdot 2^{48}}{4^{108} \cdot 6^{27}}
= \frac{4^{48} \cdot 3^{48} \cdot 2^{48}}{4^{108} \cdot (2 \cdot 3)^{27}}
= \frac{4^{48} \cdot 3^{48} \cdot 2^{48}}{4^{108} \cdot 2^{27} \cdot 3^{27}}
\)

Теперь упростим:
— Для \( 4 \):
\(
\frac{4^{48}}{4^{108}} = 4^{48 — 108} = 4^{-60}
\)
— Для \( 3 \):
\(
\frac{3^{48}}{3^{27}} = 3^{48 — 27} = 3^{21}
\)
— Для \( 2 \):
\(
\frac{2^{48}}{2^{27}} = 2^{48 — 27} = 2^{21}
\)

Таким образом, получаем:
\(
= 4^{-60} \cdot 3^{21} \cdot 2^{21}
= (2^2)^{-60} \cdot 3^{21} \cdot 2^{21}
= 2^{-120} \cdot 3^{21} \cdot 2^{21}
= 3^{21} \cdot 2^{-99}
= (6^3)
\)

Таким образом, все три утверждения верны.