ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.37 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Представьте числа } 1, 9, 81, \frac{1}{27}, \sqrt[3]{27}, 243^{\frac{1}{5}} \text{ в виде степени с основанием:}
\)

1) \( 9 \)

2) \( \frac{1}{9} \)

1)
\( 1 = 9^0, \quad 9 = 9^1, \quad 81 = 9^2; \)
\(
\frac{1}{27} = 3^{-3} = 9^{-\frac{3}{2}}, \quad \sqrt{27} = 3^{\frac{3}{2}} = 9^{\frac{3}{4}};
\)
\(
\sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3 = (3^2)^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}};
\)

2)
\(
1 = \left(\frac{1}{9}\right)^0, \quad 9 = \left(\frac{1}{9}\right)^{-1}, \quad 81 = \left(\frac{1}{9}\right)^{-2};
\)
\(
\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{3}{2}}, \quad \sqrt{27} = 3^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{3}{4}};
\)
\(
\sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3 = (3^2)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{1}{2}};
\)

1)

Рассмотрим числа с основанием \( 9 \):

— \( 1 \) можно записать как \( 9^0 \), так как любое число в степени \( 0 \) равно \( 1 \):
\(
1 = 9^{0}
\)

— \( 9 \) можно записать как \( 9^1 \), так как число само равно своей первой степени:
\(
9 = 9^{1}
\)

— \( 81 \) можно записать как \( 9^2 \), так как \( 81 = 9 \times 9 \):
\(
81 = 9^{2}
\)

— \( \frac{1}{27} \) можно записать через основание \( 3 \) как \( 3^{-3} \), а затем выразить через основание \( 9 \):
\(
\frac{1}{27} = 3^{-3} = (3^2)^{-\frac{3}{2}} = 9^{-\frac{3}{2}}
\)

— \( \sqrt{27} \) можно записать через основание \( 3 \) как \( 3^{\frac{3}{2}} \), а затем выразить через основание \( 9 \):
\(
\sqrt{27} = 3^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{3}{4}}
\)

— \( \sqrt[5]{243} \) можно записать через основание \( 3 \) как \( \sqrt[5]{3^5} = 3^{\frac{5}{5}} = 3^{1} \), а затем выразить через основание \( 9 \):
\(
\sqrt[5]{243} = (3^2)^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}}
\)

2)

Рассмотрим числа с основанием \( \frac{1}{9} \):

— \( 1 \) можно записать как \( \left(\frac{1}{9}\right)^0 \), так как любое число в степени \( 0 \) равно \( 1 \):
\(
1 = \left(\frac{1}{9}\right)^0
\)

— \( 9 \) можно записать как обратное число к \( \frac{1}{9} \), то есть \( \left(\frac{1}{9}\right)^{-1} \):
\(
9 = \left(\frac{1}{9}\right)^{-1}
\)

— \( 81 \) можно записать как квадрат числа \( 9 \), а затем выразить через основание \( \frac{1}{9} \):
\(
81 = 9^{2} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-2}
\)

— \( \frac{1}{27} \) можно записать через основание \( 3 \) как \( (3^{-3}) = (3^2)^{-\frac{3}{2}} = (9^{-1})^{-\frac{3}{2}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{3}{2}} \):
\(
\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{3}{2}}
\)

— \( \sqrt{27} \) можно записать через основание \( 3 \), а затем выразить через основание \( \frac{1}{9} \):
\(
\sqrt{27} = 3^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{-\frac{3}{4}} = (9^{-1})^{-\frac{3}{4}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{3}{4}}
\)

— \( \sqrt[5]{243} \) можно записать через основание \( 3 \), а затем выразить через основание \( \frac{1}{9} \):
\(
\sqrt[5]{243} = (3^2)^{\frac{1}{2}} = (9^{-1})^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}
\)