ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.38 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Упростите выражения:}
\)
\( 7^{(x+1)} + 7^x \)
\( 10^{(x-2)} — 10^x \)
\( 2^{(x+1)} + 2^{(x-4)} \)
\( 3^{(x+1)} + 3^x + 3^{(x-1)} \)
\( 2^{(x+3)} + 3 \cdot 2^{(x+2)} — 5 \cdot 2^{(x+1)} \)
\( \left(\frac{1}{6}\right)^{(1-x)} + 36^{(x/2)} — 6^{(x+1)} \)
\( 9^{(x+1)} + 3^{(2x+1)} \)
\( \sqrt{25^{(x-2)}} — 2 \cdot 5^x + (\sqrt{5})^{(2x+4)} \)

1)
\(
7^{(x+1)} + 7^x = 7^x \cdot 7 + 7^x = 8 \cdot 7^x
\)

2)
\(
10^{(x-2)} — 10^x = 10^{(x-2)} \cdot (1 — 100) = -99 \cdot 10^{(x-2)}
\)

3)
\(
2^{(x+1)} + 2^{(x-4)} = 2^{(x-4)} \cdot 32 + 2^{(x-4)} = 33 \cdot 2^{(x-4)}
\)

4)
\(
3^{(x+1)} + 3^x + 3^{(x-1)} = 3^{(x-1)} \cdot 9 + 3^{(x-1)} \cdot 3 + 3^{(x-1)} = 13 \cdot 3^{(x-1)}
\)

5)
\(
2^{(x+3)} + 3 \cdot 2^{(x+2)} — 5 \cdot 2^{(x+1)} = 2^{(x+1)} \cdot (4 + 6 — 5) = 5 \cdot 2^{(x+1)}
\)

6)
\(
\left(\frac{1}{6}\right)^{(1-x)} + 36^{(x/2)} — 6^{(x+1)} = 6^{(x-1)} + (6^x — 6 \cdot 6^x)
\)

7)
\(
9^{(x+1)} + 3^{(2x+1)} = (9^x \cdot (9 + 3)) = 12 \cdot 9^x
\)

8)
\(
\sqrt{25^{(x-2)}} — 2 \cdot 5^x + \sqrt{5}^{(2x+4)} = (5^{(x-2)}) \cdot (626 — 50) = 576 \cdot 5^{(x-2)}
\)

1)
\(
7^{(x+1)} + 7^x
\)
Это выражение можно переписать как:
\(
7^{(x+1)} = 7^x \cdot 7.
\)
Таким образом, получаем:
\(
7^x \cdot 7 + 7^x = 7^x \cdot (7 + 1) = 8 \cdot 7^x.
\)
Комментарий: Мы вынесли общий множитель \(7^x\) и упростили выражение.

2)
\(
10^{(x-2)} — 10^x
\)
Представим это выражение в виде:
\(
10^{(x-2)} — 10^{(x-2)} \cdot 10^2.
\)
Здесь \(10^2 = 100\), поэтому:
\(
10^{(x-2)} \cdot (1 — 100) = -99 \cdot 10^{(x-2)}.
\)
Комментарий: Мы использовали свойства степеней для выделения общего множителя.

3)
\(
2^{(x+1)} + 2^{(x-4)}
\)
Выносим общий множитель \(2^{(x-4)}\):
\(
= 2^{(x-4)} \cdot (2^{5} + 1).
\)
Здесь \(2^{5} = 32\), поэтому:
\(
= 2^{(x-4)} \cdot (32 + 1) = 33 \cdot 2^{(x-4)}.
\)
Комментарий: Мы упростили выражение, выделив общий множитель.

4)
\(
3^{(x+1)} + 3^x + 3^{(x-1)}
\)
Выносим общий множитель \(3^{(x-1)}\):
\(
= 3^{(x-1)} \cdot (3^2 + 3^1 + 1).
\)
Здесь \(3^2 = 9\) и \(3^1 = 3\), поэтому:
\(
= 3^{(x-1)} \cdot (9 + 3 + 1) = 13 \cdot 3^{(x-1)}.
\)
Комментарий: Мы собрали все слагаемые под общий множитель и упростили сумму.

5)
\(
2^{(x+3)} + 3 \cdot 2^{(x+2)} — 5 \cdot 2^{(x+1)}
\)
Выносим общий множитель \(2^{(x+1)}\):
\(
= 2^{(x+1)} \cdot (2^2 + 3 \cdot 2^1 — 5).
\)
Здесь \(2^2 = 4\) и \(2^1 = 2\), поэтому:
\(
= 2^{(x+1)} \cdot (4 + 6 — 5) = 5 \cdot 2^{(x+1)}.
\)
Комментарий: Мы выделили общий множитель и упростили выражение, вычислив сумму.

6)
\(
\left(\frac{1}{6}\right)^{(1-x)} + 36^{(x/2)} — 6^{(x+1)}
\)
Записываем первое слагаемое в виде:
\(
= 6^{-(1-x)} + (6^x)^2 — 6 \cdot (6^x).
\)
Теперь упростим:
\(
= 6^{-(1-x)} + 6^x \cdot (6^x — 6).
\)
Комментарий: Мы использовали свойства степеней для преобразования выражения.

7)
\(
9^{(x+1)} + 3^{(2x+1)}
\)
Записываем второе слагаемое как:
\(
= 9^{(x+1)} + (3^2)^{(2x+1)} = 9^{(x+1)} + 9^{(x)}.
\)
Теперь можно вынести общий множитель:
\(
= 9^x \cdot (9 + 3) = 12 \cdot 9^x.
\)
Комментарий: Мы преобразовали второе слагаемое и выделили общий множитель.

8)
\(
\sqrt{25^{(x-2)}} — 2 \cdot 5^x + \sqrt{5}^{(2x+4)}
\)
Записываем первое и последнее слагаемое:
\(
= \sqrt{5^2}^{(x-2)} — 2 \cdot 5^x + (5^{(2)})^{(x/2 + 2)}
= 5^{(x-2)} — 2 \cdot 5^x + 5^{(x+2)}.
\)
Теперь можно собрать все слагаемые:
\(
= (5^{(x-2)}) \cdot (1 — 2 \cdot (5^2)) = (5^{(x-2)}) \cdot (576).
\)
Комментарий: Мы упростили квадратные корни и собрали все слагаемые под общий множитель.