ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Правила нахождения первообразной:
1) Если функции F и G являются соответственно первообразными функций f и g на промежутке I, то на этом промежутке функция y = F(x) + G(x) является первообразной функции y = f(x) + g(x);
2) Если функция F является первообразной функции f на промежутке I и k — некоторое число, то функция y = kF(x) является первообразной от y = kf(x) на I;
3) Если функция F является первообразной функции f на промежутке I и k — некоторое число, отличное от нуля, то на этом промежутке y = F(kx + b)/k является первообразной от y = f(kx + b).

Правила нахождения первообразной можно рассмотреть подробнее следующим образом:

1) Если функции \(F\) и \(G\) являются первообразными функций \(f\) и \(g\) на промежутке \(I\), то сумма этих функций также имеет первообразную. Это можно записать следующим образом: если \(F’ = f\) и \(G’ = g\), то \((F + G)’ = F’ + G’ = f + g\). Таким образом, функция \(y = F(x) + G(x)\) является первообразной функции \(y = f(x) + g(x)\) на промежутке \(I\).

2) Если функция \(F\) является первообразной функции \(f\) на промежутке \(I\), и \(k\) — некоторое число, то функция, умноженная на это число, также будет иметь первообразную. То есть, если \(F’ = f\), то \((kF)’ = kF’ = kf\). Следовательно, функция \(y = kF(x)\) является первообразной от \(y = kf(x)\) на промежутке \(I\).

3) Если функция \(F\) является первообразной функции \(f\) на промежутке \(I\), и \(k\) — некоторое число, отличное от нуля, то можно рассмотреть преобразование аргумента. В этом случае, если мы делаем замену переменной \(u = kx + b\), то по правилу цепи имеем:

\(
\frac{d}{dx} F(kx + b) = F'(kx + b) \cdot k = f(kx + b) \cdot k.
\)

Следовательно, деля на \(k\), получаем:

\(
\frac{F(kx + b)}{k}’ = f(kx + b).
\)

Таким образом, функция \(y = \frac{F(kx + b)}{k}\) является первообразной от \(y = f(kx + b)\) на промежутке \(I\).

Эти правила позволяют находить первообразные для различных комбинаций функций и их преобразований, что значительно упрощает процесс интегрирования.