Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1. \( f(x) = 4 — 2x \)
\(
F(x) = 4x — 2 \cdot \frac{x^2}{2}
\)
\(
F(x) = 4x — x^2 + C
\)
2. \( f(x) = 3x^2 — x + 5 \)
\(
F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} + 5x
\)
\(
F(x) = x^3 — \frac{x^2}{2} + 5x + C
\)
3. \( f(x) = 5\sin(x) + \cos(x) \)
\(
F(x) = -5\cos(x) + \sin(x) + C
\)
4. \( f(x) = x^3(2 — x^2) = 2x^3 — x^5 \)
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} — \frac{x^6}{6}
\)
\(
F(x) = \frac{x^4}{2} — \frac{x^6}{6} + C
\)
5. \( f(x) = 5e^x — 2 \cdot 3^x \)
\(
F(x) = 5e^x — 2 \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} + C
\)
6. \( f(x) = \frac{6}{x} — x^3, \, (-\infty; 0) \)
\(
F(x) = 6\ln|x| — \frac{x^4}{4} + C
\)
\(
F(x) = 6\ln(-x) — \frac{x^4}{4} + C
\)
7) \( f(x) = \frac{9}{\sin^2x} + \frac{x^4}{4}, \, (0; \pi) \)
\(
F(x) = 9(-\cot x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} + C
\)
\(
F(x) = \frac{x^5}{20} — 9 \cot x + C
\)
8) \( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3, \, (0; +\infty) \)
\(
F(x) = 4x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} + \frac{x^{3+1}}{3+1} + C
\)
\(
F(x) = 8\sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C
\)
9) \( f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}, \, (-\infty; 0) \)
\(
F(x) = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C
\)
\(
F(x) = -\frac{1}{2x^2} — \frac{1}{x^3} + C
\)
10) \( f(x) = \sqrt{x} — \frac{6}{x^5}, \, (0; +\infty) \)
\(
F(x) = x^{\frac{1}{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} — 6 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C
\)
\(
F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2x^4} + C
\)
Найти первообразную:
1. \( f(x) = 4 — 2x \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int (4 — 2x) \, dx = \int 4 \, dx — \int 2x \, dx
\)
Первообразная для \( 4 \) равна \( 4x \), а для \( 2x \) равна \( 2 \cdot \frac{x^2}{2} \):
\(
F(x) = 4x — 2 \cdot \frac{x^2}{2}
\)
Упростим выражение:
\(
F(x) = 4x — x^2 + C
\)
2. \( f(x) = 3x^2 — x + 5 \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int (3x^2 — x + 5) \, dx = \int 3x^2 \, dx — \int x \, dx + \int 5 \, dx
\)
Первообразная для \( 3x^2 \) равна \( 3 \cdot \frac{x^3}{3} \), для \( x \) равна \( \frac{x^2}{2} \), а для \( 5 \) равна \( 5x \):
\(
F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} + 5x
\)
Упростим выражение:
\(
F(x) = x^3 — \frac{x^2}{2} + 5x + C
\)
3. \( f(x) = 5\sin(x) + \cos(x) \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int (5\sin(x) + \cos(x)) \, dx = \int 5\sin(x) \, dx + \int \cos(x) \, dx
\)
Первообразная для \( 5\sin(x) \) равна \( -5\cos(x) \), а для \( \cos(x) \) равна \( \sin(x) \):
\(
F(x) = -5\cos(x) + \sin(x) + C
\)
4. \( f(x) = x^3(2 — x^2) = 2x^3 — x^5 \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int (2x^3 — x^5) \, dx = \int 2x^3 \, dx — \int x^5 \, dx
\)
Первообразная для \( 2x^3 \) равна \( 2 \cdot \frac{x^4}{4} \), а для \( x^5 \) равна \( \frac{x^6}{6} \):
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} — \frac{x^6}{6}
\)
Упростим выражение:
\(
F(x) = \frac{x^4}{2} — \frac{x^6}{6} + C
\)
5. \( f(x) = 5e^x — 2 \cdot 3^x \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int (5e^x — 2 \cdot 3^x) \, dx = \int 5e^x \, dx — \int 2 \cdot 3^x \, dx
\)
Первообразная для \( 5e^x \) равна \( 5e^x \), а для \( 2 \cdot 3^x \) равна \( 2 \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} \):
\(
F(x) = 5e^x — 2 \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} + C
\)
6. \( f(x) = \frac{6}{x} — x^3, \, (-\infty; 0) \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int \left( \frac{6}{x} — x^3 \right) \, dx = \int \frac{6}{x} \, dx — \int x^3 \, dx
\)
Первообразная для \( \frac{6}{x} \) равна \( 6\ln|x| \), а для \( x^3 \) равна \( \frac{x^4}{4} \):
\(
F(x) = 6\ln|x| — \frac{x^4}{4} + C
\)
Так как область определения функции \( (-\infty; 0) \), заменим \( \ln|x| \) на \( \ln(-x) \):
\(
F(x) = 6\ln(-x) — \frac{x^4}{4} + C
\)
7) \( f(x) = \frac{9}{\sin^2x} + \frac{x^4}{4}, \, (0; \pi) \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int \left( \frac{9}{\sin^2x} + \frac{x^4}{4} \right) \, dx = \int \frac{9}{\sin^2x} \, dx + \int \frac{x^4}{4} \, dx
\)
Первообразная для \( \frac{9}{\sin^2x} \) равна \( 9(-\cot x) \), а для \( \frac{x^4}{4} \) равна \( \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} \):
\(
F(x) = 9(-\cot x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} + C
\)
Упростим выражение:
\(
F(x) = \frac{x^5}{20} — 9 \cot x + C
\)
8) \( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3, \, (0; +\infty) \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int \left( \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3 \right) \, dx = \int \frac{4}{\sqrt{x}} \, dx + \int x^3 \, dx
\)
Первообразная для \( \frac{4}{\sqrt{x}} \) равна \( 4x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} \), а для \( x^3 \) равна \( \frac{x^{3+1}}{3+1} \):
\(
F(x) = 4x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} + \frac{x^{3+1}}{3+1} + C
\)
Упростим выражение:
\(
F(x) = 8\sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C
\)
9) \( f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}, \, (-\infty; 0) \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int \left( \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4} \right) \, dx = \int \frac{1}{x^3} \, dx + \int \frac{3}{x^4} \, dx
\)
Первообразная для \( \frac{1}{x^3} \) равна \( \frac{x^{-3+1}}{-3+1} \), а для \( \frac{3}{x^4} \) равна \( 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} \):
\(
F(x) = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C
\)
Упростим выражение:
\(
F(x) = -\frac{1}{2x^2} — \frac{1}{x^3} + C
\)
10) \( f(x) = \sqrt{x} — \frac{6}{x^5}, \, (0; +\infty) \)
Рассчитаем первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int \left( \sqrt{x} — \frac{6}{x^5} \right) \, dx = \int \sqrt{x} \, dx — \int \frac{6}{x^5} \, dx
\)
Первообразная для \( \sqrt{x} \) равна \( x^{\frac{1}{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} \), а для \( \frac{6}{x^5} \) равна \( 6 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} \):
\(
F(x) = x^{\frac{1}{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} — 6 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C
\)
Упростим выражение:
\(
F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2x^4} + C
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.