ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\( f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} + 1 \);
\( D(x) = (0; +\infty) \);

1) Заданная функция:
\( f(x) = 3x^{1/2} \cdot \frac{1}{2} + x + C \);
\( f(x) = 6\sqrt{x} + x + C \);

2) Проходит через точку:
\( f(4) = 6\sqrt{4} + 4 + C = -5 \);
\( 12 + 4 + C = -5, \, C = -21 \);

Ответ:
\( f(x) = 6\sqrt{x} + x — 21 \).

Рассмотрим задачу нахождения функции \( f(x) \), определённой на промежутке \( D(x) = (0; +\infty) \), график которой проходит через точку \( B(4; -5) \), если угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \( x \) равен \( f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} + 1 \).

1) Найдём функцию \( f(x) \), интегрируя производную \( f'(x) \):

\(
f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} + 1
\)

Выполним интегрирование каждого слагаемого отдельно:

\(
\int \frac{3}{\sqrt{x}} dx = 3 \cdot \int x^{-1/2} dx = 3 \cdot \left( 2x^{1/2} \right) = 6\sqrt{x}
\)

\(
\int 1 dx = x
\)

Таким образом, общая формула функции \( f(x) \) имеет вид:

\(
f(x) = 6\sqrt{x} + x + C
\)

где \( C \) — произвольная постоянная, определяемая из условия прохождения графика через заданную точку.

2) Условие прохождения графика через точку \( B(4; -5) \):

\(
f(4) = -5
\)

Подставим \( x = 4 \) в выражение для \( f(x) \):

\(
f(4) = 6\sqrt{4} + 4 + C
\)

\(
-5 = 6 \cdot 2 + 4 + C
\)

\(
-5 = 12 + 4 + C
\)

\(
C = -5 — 12 — 4 = -21
\)

Таким образом, постоянная \( C \) равна \( -21 \).

3) Окончательная формула функции:

\(
f(x) = 6\sqrt{x} + x — 21
\)