ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 — \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x — \frac{1}{2} \sin 2x \right) = \frac{x}{2} — \frac{1}{4} \sin 2x + C;\)

2) \(\int \sin 5x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2} (\sin 8x + \sin 2x) \, dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{8} \cos 8x — \frac{1}{2} \cos 2x \right) = \)
\(= -\frac{\cos 8x}{16} — \frac{\cos 2x}{4} + C;\)

3) \(\int \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} \, dx = \int \frac{1}{2} (\cos \frac{2x}{3} — \cos 4x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{4} \sin \frac{2x}{3} — \frac{1}{8} \sin 4x \right) = \)
\(= \frac{3}{4} \sin \frac{2x}{3} — \frac{1}{8} \sin 4x + C;\)

1)
\(
\int (\sin^2(x)) dx = \int \left(\frac{1 — \cos(2x)}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \int dx — \frac{1}{2} \int (\cos(2x)) dx
\)

Первый интеграл:
\(
\frac{1}{2} \int dx = \frac{x}{2}
\)

Второй интеграл:
\(
-\frac{1}{2} \int (\cos(2x)) dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = -\frac{\sin(2x)}{4}
\)

Итак, результат:
\(
\int (\sin^2(x)) dx = \frac{x}{2} — \frac{\sin(2x)}{4} + C
\)

2)
\(
\int (\sin(5x) \cos(3x)) dx = \int \frac{1}{2} \left(\sin(8x) + \sin(2x)\right) dx = \frac{1}{2} \int (\sin(8x)) dx +
\)
\(
+ \frac{1}{2} \int (\sin(2x)) dx
\)

Первый интеграл:
\(
\frac{1}{2} \int (\sin(8x)) dx = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\cos(8x)}{8}\right) = -\frac{\cos(8x)}{16}
\)

Второй интеграл:
\(
\frac{1}{2} \int (\sin(2x)) dx = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\cos(2x)}{2}\right) = -\frac{\cos(2x)}{4}
\)

Итак, результат:
\(
\int (\sin(5x) \cos(3x)) dx = -\frac{\cos(8x)}{16} — \frac{\cos(2x)}{4} + C
\)

3)
\(
\int \left(\sin\left(\frac{7x}{3}\right) \sin\left(\frac{5x}{3}\right)\right) dx = \int \frac{1}{2} \left(\cos\left(\frac{2x}{3}\right) — \cos(4x)\right) dx = \frac{1}{2} \int \left(\cos\left(\frac{2x}{3}\right)\right) dx —
\)
\(
— \frac{1}{2} \int (\cos(4x)) dx
\)

Первый интеграл:
\(
\frac{1}{2} \int \left(\cos\left(\frac{2x}{3}\right)\right) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) = \frac{3}{4} \sin\left(\frac{2x}{3}\right)
\)

Второй интеграл:
\(
-\frac{1}{2} \int (\cos(4x)) dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} = -\frac{\sin(4x)}{8}
\)

Итак, результат:
\(
\int \left(\sin\left(\frac{7x}{3}\right) \sin\left(\frac{5x}{3}\right)\right) dx = \frac{3}{4} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) — \frac{\sin(4x)}{8} + C
\)