ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\int \cos^2(2x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} \, dx =\)

\(
= \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{4} \sin(4x)\right) = \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin(4x) + C;
\)

2) \(\int \cos(x) \cos(8x) \, dx = \int \frac{1}{2} \left(\cos(9x) + \cos(7x)\right) \, dx =\)

\(
= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{9} \sin(9x) + \frac{1}{7} \sin(7x)\right) = \frac{1}{18} \sin(9x) + \frac{1}{14} \sin(7x) + C;
\)

Найти значение:

1) Выражение \(\int \cos^2(2x) \, dx\) можно преобразовать с использованием формулы для квадрата косинуса:

\(
\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}
\)

Таким образом, интеграл принимает вид:

\(
\int \cos^2(2x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} \, dx
\)

Разделим интеграл на два слагаемых:

\(
\int \frac{1}{2} \, dx + \int \frac{\cos(4x)}{2} \, dx
\)

Первый интеграл:

\(
\int \frac{1}{2} \, dx = \frac{x}{2}
\)

Второй интеграл:

\(
\int \frac{\cos(4x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} = \frac{1}{8} \sin(4x)
\)

Сложив результаты, получаем:

\(
\int \cos^2(2x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin(4x) + C
\)

2) Выражение \(\int \cos(x) \cos(8x) \, dx\) можно преобразовать с использованием формулы произведения косинусов:

\(
\cos(x) \cos(8x) = \frac{\cos(9x) + \cos(7x)}{2}
\)

Таким образом, интеграл принимает вид:

\(
\int \cos(x) \cos(8x) \, dx = \int \frac{\cos(9x) + \cos(7x)}{2} \, dx
\)

Разделим интеграл на два слагаемых:

\(
\int \frac{\cos(9x)}{2} \, dx + \int \frac{\cos(7x)}{2} \, dx
\)

Первый интеграл:

\(
\int \frac{\cos(9x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \cos(9x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(9x)}{9} = \frac{1}{18} \sin(9x)
\)

Второй интеграл:

\(
\int \frac{\cos(7x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \cos(7x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(7x)}{7} = \frac{1}{14} \sin(7x)
\)

Сложив результаты, получаем:

\(
\int \cos(x) \cos(8x) \, dx = \frac{1}{18} \sin(9x) + \frac{1}{14} \sin(7x) + C
\)