ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Точки касания:
\(
2x^2 + 3x = 5, \quad 2x^2 + 3x — 5 = 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-5}{2}, \quad x_2 = \frac{7 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;
\)
\(
y_1 = 5 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) — 2 = -\frac{25}{2} — 2 = -\frac{29}{2}, \quad y_2 = 5 \cdot 1 — 2 = 3;
\)

2) Вычислим интеграл:
\(
F(x) = \frac{2 \cdot x^3}{3} + \frac{3 \cdot x^2}{2} + C;
\)

3) Первое значение:
\(
F_1\left(-\frac{5}{2}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{125}{8}\right) + 3 \cdot \frac{25}{4} + C;
\)
\(
F_1\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{125}{12} + \frac{75}{8} + C = -\frac{29}{2};
\)
\(
-\frac{25}{24} + C = -\frac{29}{2}, \quad C = -\frac{323}{24};
\)

4) Второе значение:
\(
F_2(1) = \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + C = 3;
\)
\(
\frac{13}{6} + C = 3, \quad C = \frac{5}{6};
\)

Ответ:
\(
F_1(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} — \frac{323}{24};
\)
\(
F_2(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + \frac{5}{6}.
\)

Даны функция и касательная: \(f(x) = 2x^2 + 3x\), \(y = 5x — 2\).

1) Для нахождения точек касания нужно решить уравнение:
\(
f(x) = y, \quad 2x^2 + 3x = 5.
\)
Перенесем все в одну часть:
\(
2x^2 + 3x — 5 = 0.
\)
Это квадратное уравнение, для которого дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\(
D = b^2 — 4ac,
\)
где \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -5\). Подставим значения:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49.
\)
Корни уравнения находятся по формуле:
\(
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
\)
Подставим значения:
\(
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 — 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2},
\)
\(
x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1.
\)
Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого корня:
\(
y_1 = 5 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) — 2 = -\frac{25}{2} — 2 = -\frac{25}{2} — \frac{4}{2} = -\frac{29}{2},
\)
\(
y_2 = 5 \cdot 1 — 2 = 5 — 2 = 3.
\)
Итак, точки касания:
\((-\frac{5}{2}, -\frac{29}{2})\) и \((1, 3)\).

2) Найдем неопределенный интеграл функции \(f(x)\):
\(
\int f(x) dx = \int (2x^2 + 3x) dx.
\)
Интегрируем каждое слагаемое:
\(
\int 2x^2 dx = \frac{2x^3}{3}, \quad \int 3x dx = \frac{3x^2}{2}.
\)
Таким образом:
\(
F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C,
\)
где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

3) Найдем значение интеграла в первой точке касания \((-\frac{5}{2}, -\frac{29}{2})\). Подставим \(x = -\frac{5}{2}\):
\(
F_1\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{2 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)^3}{3} + \frac{3 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)^2}{2} + C.
\)
Вычислим каждое слагаемое:
\(
\left(-\frac{5}{2}\right)^3 = -\frac{125}{8}, \quad \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.
\)
Подставим:
\(
F_1\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{2 \cdot \left(-\frac{125}{8}\right)}{3} + \frac{3 \cdot \frac{25}{4}}{2} + C = -\frac{250}{24} + \frac{75}{8} + C.
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
-\frac{250}{24} + \frac{225}{24} + C = -\frac{25}{24} + C.
\)
По условию \(F_1\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{29}{2}\). Приравняем:
\(
-\frac{25}{24} + C = -\frac{29}{2}.
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
-\frac{25}{24} + C = -\frac{348}{24}, \quad C = -\frac{348}{24} + \frac{25}{24} = -\frac{323}{24}.
\)

4) Найдем значение интеграла во второй точке касания \((1, 3)\). Подставим \(x = 1\):
\(
F_2(1) = \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + C.
\)
Вычислим:
\(
F_2(1) = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C.
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
F_2(1) = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + C = \frac{13}{6} + C.
\)
По условию \(F_2(1) = 3\). Приравняем:
\(
\frac{13}{6} + C = 3.
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{13}{6} + C = \frac{18}{6}, \quad C = \frac{18}{6} — \frac{13}{6} = \frac{5}{6}.
\)

Ответ:
\(
F_1(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} — \frac{323}{24};
\)
\(
F_2(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + \frac{5}{6}.
\)