ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Функция и касательная:
\( f(x) = -2x + 5, \, y = 2; \)

1) Точка касания:
\( 5 — 2x = 0, \, 2x = 5; \)
\( x = \frac{5}{2} = 2.5, \, y = 2; \)

2) Найдём интеграл:
\( F(x) = -\frac{2x^2}{2} + 5x + C; \)
\( F(x) = -x^2 + 5x + C; \)

3) Значение константы:
\( F\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + C = 2; \)
\( C = 2 + \frac{25}{4} — \frac{25}{2} = -\frac{17}{4}; \)

Ответ:
\( F(x) = -x^2 + 5x — \frac{17}{4}. \)

Функция и касательная:
\(f(x) = -2x + 5, \, y = 2\)

1) Точка касания:
Рассмотрим уравнение касательной:
\((5 — 2x = 0)\). Решим его:
\((2x = 5)\), отсюда:
\(x = \frac{5}{2} = 2.5\).

Подставим значение \(x\) в уравнение функции, чтобы найти \(y\):
\(y = 2\).

Таким образом, точка касания имеет координаты:
\((x, y) = \left(\frac{5}{2}, 2\right)\).

2) Найдём интеграл:
Для функции \(f(x) = -2x + 5\), найдём первообразную:
\(
F(x) = \int (-2x + 5) \, dx
\)
Разделим интеграл на два слагаемых:
\(
F(x) = \int (-2x) \, dx + \int 5 \, dx
\)
Вычислим каждый из интегралов:
\(
\int (-2x) \, dx = -\frac{2x^2}{2} = -x^2, \quad \int 5 \, dx = 5x
\)
Таким образом:
\(
F(x) = -x^2 + 5x + C
\)
где \(C\) — константа интегрирования.

3) Значение константы:
Подставим точку касания \(\left(\frac{5}{2}, 2\right)\) в уравнение первообразной, чтобы найти \(C\):
\(
F\left(\frac{5}{2}\right) = -\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 5 \cdot \frac{5}{2} + C
\)
Раскроем скобки и преобразуем:
\(
F\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + C
\)
По условию \(F\left(\frac{5}{2}\right) = 2\), поэтому:
\(
2 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + C
\)

Приведём дроби к общему знаменателю:
\(
-\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} = \frac{25}{4}
\)
Тогда уравнение примет вид:
\(
2 = \frac{25}{4} + C
\)

Вычтем \(\frac{25}{4}\) из обеих частей уравнения:
\(
C = 2 — \frac{25}{4}
\)
Приведём \(2\) к знаменателю \(4\):
\(
C = \frac{8}{4} — \frac{25}{4} = -\frac{17}{4}
\)

Таким образом, константа равна:
\(
C = -\frac{17}{4}
\)

Ответ:
Подставим найденное значение \(C\) в первообразную:
\(
F(x) = -x^2 + 5x — \frac{17}{4}
\)