ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти первообразную:

1) \( f(x) = x + 3 \);
\( F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C \);

2) \( f(x) = x^2 + 4x — 1 \);
\( F(x) = \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} — x \);
\( F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 — x + C \);

3) \( f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1} \);
\( F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} + C \);

4) \( f(x) = \frac{1}{2}e^x + 2^x \ln 2 \);
\( F(x) = \frac{1}{2}e^x + \frac{2^x \ln 2}{\ln 2} \);
\( F(x) = \frac{1}{2}e^x + 2^x + C \);

5) \( f(x) = \frac{9}{\cos^2 x} — 3 \sin x \), \( x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \);
\( F(x) = 9 \cdot \tan x — 3 \cdot (-\cos x) + C \);
\( F(x) = 9 \tan x + 3 \cos x + C \);

6) \( f(x) = 5x^{\frac{1}{4}} — \frac{3}{x} \), \( x \in (0; +\infty) \);
\( F(x) = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} — 3 \ln|x| + C \);
\( F(x) = 4x^{\frac{5}{4}} — 3 \ln x + C \);

7) \( f(x) = 6x^2 — \frac{2}{x^2} \), \( x \in (0; +\infty) \);
\( F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} — 2 \cdot x^{-1} \cdot (-1) \);
\( F(x) = 2x^3 + \frac{2}{x} + C \);

8) \( f(x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^9} \), \( x \in (-\infty; 0) \);
\( F(x) = 9 \cdot \frac{x^{-9}}{-9} + 8 \cdot \frac{x^{-8}}{-8} + C \);
\( F(x) = -\frac{1}{x^9} — \frac{1}{x^8} + C \);

найти первообразную:

1) \(f(x) = x + 3\).
примем \(F(x)\) как первообразную функции \(f(x)\).
для каждого слагаемого функции \(f(x)\) найдем первообразную:
первообразная от \(x\) равна \(\frac{x^2}{2}\),
первообразная от \(3\) равна \(3x\).
итоговая первообразная:
\(F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C\), где \(C\) — произвольная константа.

2) \(f(x) = x^2 + 4x — 1\).
первообразная от \(x^2\) равна \(\frac{x^3}{3}\),
первообразная от \(4x\) равна \(4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2\),
первообразная от \(-1\) равна \(-x\).
итоговая первообразная:
\(F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 — x + C\).

3) \(f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1}\).
разделим числитель на знаменатель:
\(\frac{x^3 + x}{x^2 + 1} = x + \frac{x}{x^2 + 1}\).
первообразная от \(x\) равна \(\frac{x^2}{2}\),
первообразная от \(\frac{x}{x^2 + 1}\) равна \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)\).
итоговая первообразная:
\(F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\).

4) \(f(x) = \frac{1}{2}e^x + 2^x \ln 2\).
первообразная от \(\frac{1}{2}e^x\) равна \(\frac{1}{2}e^x\),
первообразная от \(2^x \ln 2\) равна \(\frac{2^x \ln 2}{\ln 2} = 2^x\).
итоговая первообразная:
\(F(x) = \frac{1}{2}e^x + 2^x + C\).

5) \(f(x) = \frac{9}{\cos^2 x} — 3 \sin x\), \(x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\).
первообразная от \(\frac{9}{\cos^2 x}\) равна \(9 \tan x\),
первообразная от \(-3 \sin x\) равна \(-3 \cdot (-\cos x) = 3 \cos x\).
итоговая первообразная:
\(F(x) = 9 \tan x + 3 \cos x + C\).

6) \(f(x) = 5x^{\frac{1}{4}} — \frac{3}{x}\), \(x \in (0; +\infty)\).
первообразная от \(5x^{\frac{1}{4}}\) равна \(5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = 4x^{\frac{5}{4}}\),
первообразная от \(-\frac{3}{x}\) равна \(-3 \ln|x|\).
итоговая первообразная:
\(F(x) = 4x^{\frac{5}{4}} — 3 \ln x + C\).

7) \(f(x) = 6x^2 — \frac{2}{x^2}\), \(x \in (0; +\infty)\).
первообразная от \(6x^2\) равна \(6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3\),
первообразная от \(-\frac{2}{x^2}\) равна \(-2 \cdot x^{-1} \cdot (-1) = \frac{2}{x}\).
итоговая первообразная:
\(F(x) = 2x^3 + \frac{2}{x} + C\).

8) \(f(x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^9}\), \(x \in (-\infty; 0)\).
первообразная от \(\frac{9}{x^{10}}\) равна \(9 \cdot \frac{x^{-9}}{-9} = -\frac{1}{x^9}\),
первообразная от \(\frac{8}{x^9}\) равна \(8 \cdot \frac{x^{-8}}{-8} = -\frac{1}{x^8}\).
итоговая первообразная:
\(F(x) = -\frac{1}{x^9} — \frac{1}{x^8} + C\).