ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \left(\frac{a + b}{a — b} — \frac{b}{b — \sqrt{ab}} + \frac{a}{\sqrt{ab} + a}\right) — \frac{\sqrt{a + b — 2\sqrt{ab}}}{2} =
\)

Решение:

Шаг 1. Начало упрощения:
\(
\frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{a + b + \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{a}(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} — \frac{\sqrt{\left(\sqrt{a} — \sqrt{b}\right)^2}}{2}
\)

Шаг 2. Дальнейшее упрощение:
\(
= \frac{(a + b)(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{a + b + \sqrt{ab} + b + a — \sqrt{ab}} — \frac{\vert\sqrt{a} — \sqrt{b}\vert}{2}
\)

Шаг 3. Итоговое выражение:
\(
= \sqrt{a — b} — \frac{\vert\sqrt{a} — \sqrt{b}\vert}{2}
\)

Ответ:
Если \(0 < b < a\), то \(0\).
Если \(0 < a < b\), то \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\).

Задача:
Упростить выражение:
\(
\frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \left(\frac{a + b}{a — b} — \frac{b}{b — \sqrt{ab}} + \frac{a}{\sqrt{ab} + a}\right) — \frac{\sqrt{a + b — 2\sqrt{ab}}}{2}.
\)

Решение:

Шаг 1. Преобразование первой части:
В выражении \(\frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\) домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \((\sqrt{a} — \sqrt{b})\), чтобы избавиться от корней в знаменателе:
\(
\frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(a + b)(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} — \sqrt{b})} = \frac{(a + b)(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{a — b}.
\)

Шаг 2. Упрощение второй части:
Рассмотрим выражение:
\(
\frac{a + b}{a — b} — \frac{b}{b — \sqrt{ab}} + \frac{a}{\sqrt{ab} + a}.
\)
Приведём все дроби к общему знаменателю, который равен произведению \((a — b)(b — \sqrt{ab})(\sqrt{ab} + a)\). После упрощения числителя, выражение принимает вид:
\(
\frac{a + b + \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{a}(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}.
\)

Шаг 3. Итоговое выражение:
Подставляем упрощённые части обратно в исходное выражение. После упрощения и сокращения остаётся:
\(
\frac{\sqrt{\left(\sqrt{a} — \sqrt{b}\right)^2}}{2}.
\)

Шаг 4. Окончательное упрощение:
Выражение принимает вид:
\(
\frac{(a + b)(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{a + b + \sqrt{ab} + b + a — \sqrt{ab}} — \frac{\vert\sqrt{a} — \sqrt{b}\vert}{2}.
\)
Сокращаем одинаковые члены в числителе и знаменателе, упрощаем выражение. Итоговый результат:
\(
\sqrt{a — b} — \frac{\vert\sqrt{a} — \sqrt{b}\vert}{2}.
\)

Ответ:
— Если \(0 < b < a\), то результат равен \(0\).
— Если \(0 < a < b\), то результат равен \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\).