ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуем функцию \( y = \frac{x^3 — 2x^2}{x+3} — \frac{x^3 + 2x^2}{x-3} \) на четность.

Подставляем \(-x\):
\(
y(-x) = \frac{(-x)^3 — 2(-x)^2}{-x+3} — \frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{-x-3}.
\)

Упростим:
1. \( (-x)^3 = -x^3 \), \( (-x)^2 = x^2 \).
\(
y(-x) = \frac{-x^3 — 2x^2}{-x+3} — \frac{-x^3 + 2x^2}{-x-3}.
\)

Упрощая дроби:
\(
y(-x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x-3} — \frac{x^3 — 2x^2}{x+3}.
\)

Это равно \(-y(x)\), так как знаки дробей меняются.

Ответ: функция нечетная.

Чтобы исследовать функцию \( y = \left(\frac{x^3 — 2x^2}{x+3}\right) — \left(\frac{x^3 + 2x^2}{x-3}\right) \) на четность, используем определение четности и нечетности функций.

Определения:
1. Четная функция: \( f(-x) = f(x) \).
2. Нечетная функция: \( f(-x) = -f(x) \).

Шаг 1: Подставим \(-x\) вместо \(x\) в функцию

Изначальная функция:
\(
y(x) = \left(\frac{x^3 — 2x^2}{x+3}\right) — \left(\frac{x^3 + 2x^2}{x-3}\right).
\)

Подставляем \(-x\):
\(
y(-x) = \left(\frac{(-x)^3 — 2(-x)^2}{-x+3}\right) — \left(\frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{-x-3}\right).
\)

Упростим каждый член:
1. \( (-x)^3 = -x^3 \),
2. \( (-x)^2 = x^2 \).

Тогда:
\(
y(-x) = \left(\frac{-x^3 — 2x^2}{-x+3}\right) — \left(\frac{-x^3 + 2x^2}{-x-3}\right).
\)

Шаг 2: Упростим дроби

1. Для первой дроби:
\(
\frac{-x^3 — 2x^2}{-x+3} = \frac{-1(-x^3 — 2x^2)}{-1(x-3)} = \frac{x^3 + 2x^2}{x-3}.
\)

2. Для второй дроби:
\(
\frac{-x^3 + 2x^2}{-x-3} = \frac{-1(-x^3 + 2x^2)}{-1(x+3)} = \frac{x^3 — 2x^2}{x+3}.
\)

Шаг 3: Подставим упрощенные дроби в \( y(-x) \):
\(
y(-x) = \left(\frac{x^3 + 2x^2}{x-3}\right) — \left(\frac{x^3 — 2x^2}{x+3}\right).
\)

Шаг 4: Сравним \( y(-x) \) и \( -y(x) \):

Изначальная функция \( y(x) \):
\(
y(x) = \left(\frac{x^3 — 2x^2}{x+3}\right) — \left(\frac{x^3 + 2x^2}{x-3}\right).
\)

Найдём \( -y(x) \):
\(
-y(x) = -\left[\left(\frac{x^3 — 2x^2}{x+3}\right) — \left(\frac{x^3 + 2x^2}{x-3}\right)\right] = \left(\frac{x^3 + 2x^2}{x-3}\right) — \left(\frac{x^3 — 2x^2}{x+3}\right).
\)

Видно, что \( y(-x) = -y(x) \).

Шаг 5: Вывод

Функция \( y(x) \) является нечетной.