ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\( f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 2} \);

\( x_0 = -1 \);

\( y_0 = 1 — 2 + 2 = 1 + 0 = 1 \);

\( x^2 + 2x + 2 \geq 1, \ f(x) \geq 1 \);

Ответ: \( E(y) = [1; +\infty) \).

Распишем подробнее:

1. Задана функция:
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 2} \).

2. Найдем вершину параболы под корнем:
Координата \( x_0 \) вершины определяется по формуле:
\( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \).
Подставляем:
\( x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \).

3. Вычисляем значение функции в точке \( x_0 \):
\( y_0 = f(-1) = \sqrt{(-1)^2 + 2(-1) + 2} \).
Раскрываем скобки:
\( y_0 = \sqrt{1 — 2 + 2} = \sqrt{1} = 1 \).

4. Определяем область значений функции:
Для корня \( \sqrt{x^2 + 2x + 2} \), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\( x^2 + 2x + 2 \geq 0 \).

Однако, в данном случае проверяем, когда \( f(x) \geq 1 \):
\( x^2 + 2x + 2 \geq 1 \).
Приведем к стандартному виду:
\( x^2 + 2x + 1 \geq 0 \).

Разложим на множители:
\( (x + 1)^2 \geq 0 \).

Это неравенство выполняется для всех значений \( x \), так как квадрат любого числа неотрицателен.

5. Таким образом, минимальное значение функции равно \( y_0 = 1 \), а максимальное значение отсутствует (функция стремится к бесконечности при удалении \( x \) от вершины).

Ответ:
\( E(y) = [1; +\infty) \).