Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найти первообразную:
1) \(f(x) = \sin\left(\frac{x}{4}\right)\):
\(
F(x) = \frac{1}{4}(-\cos\left(\frac{x}{4}\right))
\)
\(
F(x) = -4\cos\left(\frac{x}{4}\right) + C
\)
2) \(f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)\):
\(
F(x) = 2 \cdot (-1) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6} — x\right)
\)
\(
F(x) = -2\sin\left(\frac{\pi}{6} — x\right) + C
\)
3) \(f(x) = e^{5 — \frac{x}{2}}\):
\(
F(x) = \frac{1}{-2} e^{5 — \frac{x}{2}}
\)
\(
F(x) = -2e^{5 — \frac{x}{2}} + C
\)
4) \(f(x) = \frac{1}{2^{3x + 5}} = 2^{-3x — 5}\):
\(
F(x) = -\frac{1}{3} \cdot 2^{-3x — 5} \cdot \ln 2
\)
\(
F(x) = -\frac{1}{2^{3x + 5} \cdot \ln 8} + C
\)
5) \(f(x) = (2x — 3)^5\):
\(
F(x) = \frac{1}{6} (2x — 3)^6
\)
\(
F(x) = \frac{1}{12} (2x — 3)^6 + C
\)
6) \(f(x) = \frac{1}{\cos^2(2x — \frac{\pi}{4})} \; \left(-\frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{8}\right)\):
\(
F(x) = \int f(x) = \frac{1}{2} \tan(2x — \frac{\pi}{4}) + C;
\)
7) \(f(x) = \frac{3}{(3x — 1)^3}, \; \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)\):
\(
F(x) = 3 \cdot \frac{1}{-3} \cdot (3x — 1)^{-2} \cdot (-2);
\)
\(
F(x) = -\frac{1}{2(3x — 1)^2} + C;
\)
8) \(f(x) = \frac{1}{3 — x}, \; (-\infty; 3)\):
\(
F(x) = -1 \cdot \ln|3 — x| + C;
\)
\(
F(x) = -\ln(3 — x) + C;
\)
9) \(f(x) = \frac{1}{\sin^2\frac{x}{5}}, \; (0; 5\pi)\):
\(
F(x) = 1 \cdot \frac{1}{5} \cdot (-\cot\frac{x}{5}) + C;
\)
\(
F(x) = -5 \cot\frac{x}{5} + C;
\)
10) \(f(x) = \sqrt[4]{4x + 7}, \; \left(-\frac{7}{4}; +\infty\right)\):
\(
F(x) = \frac{1}{4} \cdot (4x + 7)^{\frac{4+1}{4}} \cdot \frac{1}{4 + 1};
\)
\(
F(x) = \frac{1}{5} \cdot (4x + 7)^{\frac{5}{4}} + C;
\)
1) \( f(x) = \sin\left(\frac{x}{4}\right) \):
\(
F(x) = \int \sin\left(\frac{x}{4}\right) dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k} \cos(kx)\):
\(
F(x) = -\frac{1}{\frac{1}{4}} \cos\left(\frac{x}{4}\right) + C
\)
\(
F(0x) = -4\cos\left(\frac{x}{4}\right) + C
\)
2) \( f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right) \):
\(
F(x) = \int 2\cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right) dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx)\):
\(
F(x) = 2 \cdot (-\sin\left(\frac{\pi}{6} — x\right)) + C
\)
\(
F(x) = -2\sin\left(\frac{\pi}{6} — x\right) + C
\)
3) \( f(x) = e^{5 — \frac{x}{2}} \):
\(
F(x) = \int e^{5 — \frac{x}{2}} dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx}\):
\(
F(x) = \frac{1}{-\frac{1}{2}} e^{5 — \frac{x}{2}} + C
\)
\(
F(x) = -2e^{5 — \frac{x}{2}} + C
\)
4) \( f(x) = \frac{1}{2^{3x + 5}} = 2^{-3x — 5} \):
\(
F(x) = \int 2^{-3x — 5} dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a}\):
\(
F(x) = \frac{2^{-3x — 5}}{-3 \ln 2} + C
\)
\(
F(x) = -\frac{1}{2^{3x + 5} \ln 2} + C
\)
5) \( f(x) = (2x — 3)^5 \):
\(
F(x) = \int (2x — 3)^5 dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int (kx + b)^n dx = \frac{(kx + b)^{n+1}}{k(n+1)}\):
\(
F(x) = \frac{(2x — 3)^6}{2 \cdot 6} + C
\)
\(
F(x) = \frac{1}{12} (2x — 3)^6 + C
\)
6) \( f(x) = \frac{1}{\cos^2(2x — \frac{\pi}{4})}, \; \left(-\frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{8}\right) \):
\(
F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(2x — \frac{\pi}{4})} dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int \frac{1}{\cos^2(kx)} dx = \frac{1}{k} \tan(kx)\):
\(
F(x) = \frac{1}{2} \tan(2x — \frac{\pi}{4}) + C
\)
7) \( f(x) = \frac{3}{(3x — 1)^3}, \; \left(\frac{1}{3}; +\infty\right) \):
\(
F(x) = \int \frac{3}{(3x — 1)^3} dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int \frac{1}{(kx + b)^n} dx = \frac{(kx + b)^{1-n}}{k(1-n)}\):
\(
F(x) = -\frac{1}{2(3x — 1)^2} + C
\)
8) \( f(x) = \frac{1}{3 — x}, \; (-\infty; 3) \):
\(
F(x) = \int \frac{1}{3 — x} dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int \frac{1}{kx + b} dx = \frac{1}{k} \ln|kx + b|\):
\(
F(x) = -\ln(3 — x) + C
\)
9) \( f(x) = \frac{1}{\sin^2\frac{x}{5}}, \; (0; 5\pi) \):
\(
F(x) = \int \frac{1}{\sin^2\frac{x}{5}} dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int \frac{1}{\sin^2(kx)} dx = -\frac{1}{k} \cot(kx)\):
\(
F(x) = -5 \cot\frac{x}{5} + C
\)
10) \( f(x) = \sqrt[4]{4x + 7}, \; \left(-\frac{7}{4}; +\infty\right) \):
\(
F(x) = \int (4x + 7)^{\frac{1}{4}} dx
\)
Для нахождения первообразной используем тот факт, что \(\int (kx + b)^n dx = \frac{(kx + b)^{n+1}}{k(n+1)}\):
\(
F(x) = \frac{(4x + 7)^{\frac{5}{4}}}{4 \cdot \frac{5}{4}} + C
\)
\(
F(x) = \frac{1}{5} (4x + 7)^{\frac{5}{4}} + C
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.