Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) \( f(x) = 1 — 2x, \; (-\infty; +\infty) \):
\(
F(x) = x — 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x — x^2 + C
\)
\(
F(3) = 3 — 9 + C = 2, \; C = 8
\)
Ответ: \( F(x) = x — x^2 + 8 \).
2) \( f(x) = 3x^2 — 4x, \; (-\infty; +\infty) \):
\(
F(x) = \frac{3x^3}{3} — \frac{4x^2}{2} = x^3 — 2x^2 + C
\)
\(
F(1) = 1 — 2 + C = 4, \; C = 5
\)
Ответ: \( F(x) = x^3 — 2x^2 + 5 \).
3) \( f(x) = \frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right), \; (-\infty; +\infty) \):
\(
F(x) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (-\cos\left(\frac{x}{3}\right)) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C
\)
\(
F(x) = -\cos\left(\frac{x}{3}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C
\)
\(
F(\pi) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 7
\)
\(
-0.5 + 1 + C = 7, \; C = 6.5
\)
Ответ: \( F(x) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) — \cos\left(\frac{x}{3}\right) + 6.5 \).
4) \( f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right), \; (-\infty; +\infty) \):
\(
F(x) = \frac{1}{3} \sin\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right) + C
\)
\(
F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3} \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) + C = 2
\)
\(
C = \frac{5}{3}
\)
Ответ: \( F(x) = \frac{1}{3} \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) + \frac{5}{3} \).
5) \( f(x) = 4 — \frac{1}{x^2}, \; (0; +\infty) \):
\(
F(x) = 4x — \frac{x^{-1}}{-1} = 4x + \frac{1}{x} + C
\)
\(
F\left(\frac{1}{4}\right) = 1 + 4 + C = 1, \; C = -4
\)
Ответ: \( F(x) = 4x + \frac{1}{x} — 4 \).
6) \( f(x) = \frac{7}{x-4} + \frac{1}{\sqrt{x+4}}, \; (4; +\infty) \):
\(
F(x) = 7 \ln|x — 4| + 2 \sqrt{x + 4} + C
\)
\(
F(5) = 7 \ln 1 + 2 \sqrt{9} + C = 6, \; C = 0
\)
Ответ: \( F(x) = 7 \ln(x — 4) + 2 \sqrt{x + 4} \).
7) \( f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 1}}, \; \left(-\frac{1}{6}; +\infty\right) \):
\(
F(x) = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot (6x + 1)^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{6x + 1} + C
\)
\(
F(4) = \sqrt{25} + C = 7, \; 5 + C = 7, \; C = 2
\)
Ответ: \( F(x) = \sqrt{6x + 1} + 2 \).
8) \( f(x) = e^{3x}, \; (-\infty; +\infty) \):
\(
F(x) = \frac{1}{3} e^{3x} + C
\)
\(
F(0) = \frac{1}{3} e^0 + C = 1, \; \frac{1}{3} + C = 1, \; C = \frac{2}{3}
\)
Ответ: \( F(x) = \frac{1}{3} e^{3x} + \frac{2}{3} \).
9) \( f(x) = (2 — 3x)^2, \; (-\infty; +\infty) \):
\(
F(x) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(2 — 3x)^3}{3} = \frac{(3x — 2)^3}{9} + C
\)
\(
F(1) = \frac{(3 \cdot 1 — 2)^3}{9} + C = 0, \; C = -\frac{1}{9}
\)
Ответ: \( F(x) = \frac{(3x — 2)^3}{9} — \frac{1}{9} \).
10) \( f(x) = \frac{4}{\cos^2(6x — \frac{\pi}{6})}, \; \left(-\frac{\pi}{18}; \frac{\pi}{9}\right) \):
\(
F(x) = \frac{4}{6} \cdot \tan(6x — \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{3} \tan(6x — \frac{\pi}{6}) + C
\)
\(
F(0) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + C = -\frac{2\sqrt{3}}{9} + C = 0, \; C = \frac{2\sqrt{3}}{9}
\)
Ответ: \( F(x) = \frac{2}{3} \tan(6x — \frac{\pi}{6}) \).
1) \( f(x) = 1 — 2x, \; (-\infty; +\infty) \):
Для нахождения первообразной \( F(x) \) интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int (1 — 2x) dx = \int 1 dx — \int 2x dx = x — 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x — x^2 + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F(3) = 2 \):
\(
F(3) = 3 — 9 + C = 2
\)
\(
C = 8
\)
Ответ:
\(
F(x) = x — x^2 + 8
\)
2) \( f(x) = 3x^2 — 4x, \; (-\infty; +\infty) \):
Интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int (3x^2 — 4x) dx = \int 3x^2 dx — \int 4x dx = \frac{3x^3}{3} — \frac{4x^2}{2} + C =
\)
\(
= x^3 — 2x^2 + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F(1) = 4 \):
\(
F(1) = 1 — 2 + C = 4
\)
\(
C = 5
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^3 — 2x^2 + 5
\)
3) \( f(x) = \frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right), \; (-\infty; +\infty) \):
Интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int \left( \frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) \right) dx
\)
\(
F(x) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (-\cos\left(\frac{x}{3}\right)) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C = -\cos\left(\frac{x}{3}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F(\pi) = 7 \):
\(
F(\pi) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 7
\)
\(
-\frac{1}{2} + 1 + C = 7
\)
\(
C = 6.5
\)
Ответ:
\(
F(x) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) — \cos\left(\frac{x}{3}\right) + 6.5
\)
4) \( f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right), \; (-\infty; +\infty) \):
Интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int \cos\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right) dx = \frac{1}{3} \sin\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right) + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \):
\(
F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3} \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) + C = 2
\)
\(
C = \frac{5}{3}
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{1}{3} \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) + \frac{5}{3}
\)
5) \( f(x) = 4 — \frac{1}{x^2}, \; (0; +\infty) \):
Интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int \left(4 — \frac{1}{x^2}\right) dx = \int 4 dx — \int \frac{1}{x^2} dx = 4x — \frac{x^{-1}}{-1} + C = 4x + \frac{1}{x} + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F\left(\frac{1}{4}\right) = 1 \):
\(
F\left(\frac{1}{4}\right) = 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{\frac{1}{4}} + C = 1
\)
\(
1 + 4 + C = 1
\)
\(
C = -4
\)
Ответ:
\(
F(x) = 4x + \frac{1}{x} — 4
\)
6) \( f(x) = \frac{7}{x-4} + \frac{1}{\sqrt{x+4}}, \; (4; +\infty) \):
Интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int \left(\frac{7}{x-4} + \frac{1}{\sqrt{x+4}}\right) dx = \int \frac{7}{x-4} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x+4}} dx
\)
\(
F(x) = 7 \ln|x — 4| + 2 \sqrt{x + 4} + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F(5) = 6 \):
\(
F(5) = 7 \ln 1 + 2 \sqrt{9} + C = 6
\)
\(
C = 0
\)
Ответ:
\(
F(x) = 7 \ln(x — 4) + 2 \sqrt{x + 4}
\)
7) \( f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 1}}, \; \left(-\frac{1}{6}; +\infty\right) \):
Интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int \frac{3}{\sqrt{6x + 1}} dx = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot (6x + 1)^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{6x + 1} + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F(4) = 7 \):
\(
F(4) = \sqrt{25} + C = 7
\)
\(
5 + C = 7
\)
\(
C = 2
\)
Ответ:
\(
F(x) = \sqrt{6x + 1} + 2
\)
8) \( f(x) = e^{3x}, \; (-\infty; +\infty) \):
Интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F(0) = 1 \):
\(
F(0) = \frac{1}{3} e^0 + C = 1
\)
\(
\frac{1}{3} + C = 1
\)
\(
C = \frac{2}{3}
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{1}{3} e^{3x} + \frac{2}{3}
\)
9) \( f(x) = (2 — 3x)^2, \; (-\infty; +\infty) \):
Интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int (2 — 3x)^2 dx = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(2 — 3x)^3}{3} + C = \frac{(3x — 2)^3}{9} + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F(1) = 0 \):
\(
F(1) = \frac{(3 \cdot 1 — 2)^3}{9} + C = 0
\)
\(
C = -\frac{1}{9}
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{(3x — 2)^3}{9} — \frac{1}{9}
\)
10) \( f(x) = \frac{4}{\cos^2(6x — \frac{\pi}{6})}, \; \left(-\frac{\pi}{18}; \frac{\pi}{9}\right) \):
Интегрируем функцию \( f(x) \):
\(
F(x) = \int \frac{4}{\cos^2(6x — \frac{\pi}{6})} dx = \frac{4}{6} \cdot \tan(6x — \frac{\pi}{6}) + C = \frac{2}{3} \tan(6x — \frac{\pi}{6}) + C
\)
Чтобы найти константу \( C \), используем условие \( F(0) = 0 \):
\(
F(0) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + C = -\frac{2\sqrt{3}}{9} + C = 0
\)
\(
C = \frac{2\sqrt{3}}{9}
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{2}{3} \tan(6x — \frac{\pi}{6})
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.