ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\( f(x) = 4x^3 + 4x \);

1) Найдем первообразную:
\(
F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^2}{2} + C;
\)
\(
F(x) = x^4 + 2x^2 + C;
\)

2) Нуль первообразной:
\(
F(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^2 + C = 0;
\)
\(
1 + 2 + C = 0; \quad 3 + C = 0; \quad C = -3;
\)

3) Остальные нули:
\(
x^4 + 2x^2 — 3 = 0;
\)
Обозначим \( t = x^2 \), тогда:
\(
t^2 + 2t — 3 = 0;
\)
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16;
\)
\(
t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2};
\)
\(
t_1 = 1; \quad t_2 = -3;
\)

Возвращаемся к \( x \):
\(
x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1;
\)
\(
x^2 = -3 \quad \Rightarrow \quad \text{корней нет}.
\)

Ответ:
\(
F(x) = x^4 + 2x^2 — 3; \quad x = \pm 1.
\)

Задана функция:
\( f(x) = 4x^3 + 4x \).

1. Найдем первообразную

Первообразная функции \( f(x) \) находится как неопределенный интеграл:
\(
F(x) = \int f(x) \, dx.
\)

Подставим функцию \( f(x) = 4x^3 + 4x \):
\(
F(x) = \int (4x^3 + 4x) \, dx.
\)

Интегрируем каждый член отдельно:
\(
\int 4x^3 \, dx = \frac{4x^{3+1}}{3+1} = \frac{4x^4}{4} = x^4,
\)
\(
\int 4x \, dx = \frac{4x^{1+1}}{1+1} = \frac{4x^2}{2} = 2x^2.
\)

Таким образом, первообразная имеет вид:
\(
F(x) = x^4 + 2x^2 + C,
\)
где \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

2. Найдем постоянную \( C \)

Условие: первообразная \( F(x) \) должна быть равна нулю при \( x = -1 \). Подставим \( x = -1 \) в выражение для \( F(x) \):
\(
F(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^2 + C.
\)

Рассчитаем значения:
\((-1)^4 = 1, \quad 2(-1)^2 = 2.\)

Тогда:
\(
F(-1) = 1 + 2 + C = 0.
\)

Отсюда:
\(
3 + C = 0, \quad C = -3.
\)

Теперь первообразная имеет вид:
\(
F(x) = x^4 + 2x^2 — 3.
\)

3. Найдем нули функции

Решим уравнение:
\(
F(x) = x^4 + 2x^2 — 3 = 0.
\)

Обозначим \( t = x^2 \), тогда \( t^2 = x^4 \). Уравнение принимает вид:
\(
t^2 + 2t — 3 = 0.
\)

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)

Найдем корни:
\(
t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}.
\)

Рассчитаем:
\(
t_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1,
\)
\(
t_2 = \frac{-2 — 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
\)

Вернемся к переменной \( x \):
если \( t = x^2 = 1 \), то \( x = \pm 1; \)
если \( t = x^2 = -3 \), то корней нет, так как квадрат не может быть отрицательным.

Ответ:
\(
F(x) = x^4 + 2x^2 — 3; \quad x = \pm 1.
\)