ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дана функция:
f(x) = x² — 12;

1) Вычислим интеграл:
\( F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} — 12 \cdot x + C; \)
\( F(x) = \frac{x^3}{3} — 12x + C; \)

2) Нуль первообразной:
\( F(3) = \frac{3^3}{3} — 12 \cdot 3 + C = 0; \)
\( \frac{9}{3} — 36 + C = 0, \, C = 27; \)

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} — 12x + 27. \)

Дана функция:
f(x) = x² — 12

1) Вычислим интеграл:
Найдем первообразную функции f(x).
Для каждого члена функции используем правило нахождения первообразной:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(C\) — произвольная постоянная интегрирования.

Применяем это правило к каждому члену функции:
\(\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}\)
\(\int -12 dx = -12 \cdot x\)

Таким образом, первообразная функции f(x):
\(F(x) = \frac{x^3}{3} — 12x + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.

2) Нуль первообразной:
Для нахождения постоянной \(C\) используем условие, что первообразная равна нулю при \(x = 3\):
\(F(3) = \frac{3^3}{3} — 12 \cdot 3 + C = 0\)

Выполним вычисления:
\(\frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9\)
\(-12 \cdot 3 = -36\)

Подставляем эти значения в уравнение:
\(9 — 36 + C = 0\)
\(C = 36 — 9 = 27\)

Таким образом, постоянная \(C = 27\).

Итоговая первообразная функции:
\(F(x) = \frac{x^3}{3} — 12x + 27\).