ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком функции \( f \) и прямыми
\( y = 0 \), \( x = a \) и \( x = b \), где \( a < b \), \( [a; b] \in D(f) \).

2. Площадь (\( S \)) криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции \( y = f(x) \) и линиями
\( y = 0 \), \( x = a \) и \( x = b \), можно вычислить по формуле
\(
S = F(b) — F(a),
\)
где \( F \) — любая первообразная функции \( f \) на промежутке \( [a; b] \).

3. Пусть \( F \) — первообразная функции \( f \) на \( I \), тогда числа \( a \) и \( b \), где \( a < b \), принадлежат промежутку \( I \);
разность \( F(b) — F(a) \) называют определённым интегралом функции \( f’ \) на промежутке \( [a; b] \).

4. Формула Ньютона-Лейбница:
\(
\int_a^b f(x) dx = F(b) — F(a), \quad a < b;
\)

5. Свойства определённого интеграла:

1.
\(
\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx;
\)

2.
\(
k \int_a^b f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx, \quad k \in R;
\)

3.
\(
\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx, \quad c \in [a; b];
\)

1. криволинейной трапецией называют фигуру, которая ограничена следующими линиями: графиком функции \(f(x)\), осью абсцисс (\(y = 0\)) и вертикальными прямыми \(x = a\) и \(x = b\), где \(a < b\), \(a, b \in D(f)\). область определения функции \(D(f)\) — это множество всех значений \(x\), при которых функция \(f(x)\) определена.

пример: если функция \(f(x) = x^2\), то её область определения \(D(f)\) — вся числовая прямая (\(-\infty; +\infty\)). если \(f(x) = \frac{1}{x}\), то \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\), так как в точке \(x = 0\) функция не определена.

2. площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = f(x)\), осью абсцисс (\(y = 0\)) и вертикальными линиями \(x = a\) и \(x = b\), где \(a < b\), можно вычислить по формуле:
\(
S = F(b) — F(a),
\)
где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\) на промежутке \((a; b)\). первообразная \(F(x)\) — это такая функция, производная которой равна \(f(x)\), то есть выполняется равенство \(F'(x) = f(x)\).

пример: если \(f(x) = x^2\), то первообразная \(F(x)\) будет равна \(\frac{x^3}{3} + C\), где \(C\) — произвольная константа.

формула для площади криволинейной трапеции основана на вычислении разности значений первообразной \(F(x)\) в точках \(x = b\) и \(x = a\).

3. определённый интеграл функции \(f(x)\) на промежутке \((a; b)\) обозначается как:
\(
\int(a)(b) f(x) \, dx = F(b) — F(a),
\)
где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\). разность \(F(b) — F(a)\) называется значением определённого интеграла.

определённый интеграл имеет геометрический смысл: он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(f(x)\), осью \(x\) и вертикальными линиями \(x = a\) и \(x = b\), если \(f(x) \geq 0\) на всём промежутке \((a; b)\). если \(f(x) < 0\) на части промежутка, то определённый интеграл учитывает знак функции и может быть отрицательным.

4. формула ньютона-лейбница для вычисления определённого интеграла:
\(
\int(a)(b) f(x) \, dx = F(b) — F(a), \quad a < b,
\)
где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\). эта формула позволяет вычислить значение интеграла, если известна первообразная функции \(f(x)\).

пример:
пусть \(f(x) = x^2\), тогда первообразная \(F(x) = \frac{x^3}{3} + C\). вычислим интеграл:
\(
\int(1)(3) x^2 \, dx = F(3) — F(1) = \left(\frac{3^3}{3}\right) — \left(\frac{1^3}{3}\right) = 9 — \frac{1}{3} = \frac{26}{3}.
\)

5. свойства определённого интеграла:

первое свойство. интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций:
\(
\int(a)(b) \left(f(x) + g(x)\right) \, dx = \int(a)(b) f(x) \, dx + \int(a)(b) g(x) \, dx.
\)
пример:
пусть \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x\). тогда:
\(
\int(0)(1) \left(x^2 + x\right) \, dx = \int(0)(1) x^2 \, dx + \int(0)(1) x \, dx.
\)
вычислим каждый интеграл:
\(
\int(0)(1) x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right](0)(1) = \frac{1^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3},
\)
\(
\int(0)(1) x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right](0)(1) = \frac{1^2}{2} — \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}.
\)
итог:
\(
\int(0)(1) \left(x^2 + x\right) \, dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}.
\)

второе свойство. если \(k\) — произвольное действительное число (\(k \in \mathbb{R}\)), то оно может быть вынесено за знак интеграла:
\(
k \int(a)(b) f(x) \, dx = k \cdot \int(a)(b) f(x) \, dx.
\)
пример:
пусть \(k = 2\), \(f(x) = x^2\). тогда:
\(
2 \int(0)(1) x^2 \, dx = 2 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right](0)(1) = 2 \cdot \left(\frac{1^3}{3} — \frac{0^3}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
\)

третье свойство. если \(c\) — произвольное число из промежутка \((a; b)\), то интеграл на промежутке \((a; b)\) можно разбить на сумму двух интегралов:
\(
\int(a)(b) f(x) \, dx = \int(a)(c) f(x) \, dx + \int(c)(b) f(x) \, dx.
\)
пример:
пусть \(f(x) = x^2\), \(a = 0\), \(b = 2\), \(c = 1\). тогда:
\(
\int(0)(2) x^2 \, dx = \int(0)(1) x^2 \, dx + \int(1)(2) x^2 \, dx.
\)
вычислим каждый интеграл:
\(
\int(0)(1) x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right](0)(1) = \frac{1^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3},
\)
\(
\int(1)(2) x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right](1)(2) = \frac{2^3}{3} — \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} — \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.
\)
итог:
\(
\int(0)(2) x^2 \, dx = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} = \frac{8}{3}.
\)