ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(y = x^2, \, a = 1, \, b = 2:\)
\(
S = \int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left(\frac{x^3}{3}\right)_{1}^{2} = \frac{8}{3} — \frac{1}{3} = \frac{7}{3}
\)
Ответ: \(\frac{7}{3}\)

\(y = x^3, \, a = 0, \, b = 1:\)
\(
S = \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left(\frac{x^4}{4}\right)_{0}^{1} = \frac{1}{4} — 0
\)
Ответ: \(\frac{1}{4}\)

\(y = \cos(x), \, a = \frac{\pi}{6}, \, b = \frac{\pi}{3}:\)
\(
S = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos(x) \, dx = \left(\sin(x)\right)_{\pi/6}^{\pi/3} = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) — \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
\)
\(
S = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}
\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{3} — 1}{2}\)

\(y = e^x, \, a = -1, \, b = 1:\)
\(
S = \int_{-1}^{1} e^x \, dx = \left(e^x\right)_{-1}^{1} = e — e^{-1}
\)
Ответ: \(e — \frac{1}{e}\)

\(y = \sqrt{x}, \, a = 0, \, b = 4:\)
\(
S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)_{0}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} — 0
\)
\(
S = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}
\)
Ответ: \(5 \frac{1}{3}\)

\(y = \frac{-6}{x}, \, a = -3, \, b = -2:\)
\(
S = \int_{-3}^{-2} \frac{-6}{x} \, dx = -6 \ln|x| \big|_{-3}^{-2}
\)
\(
S = -6 (\ln(2) — \ln(3)) = 6 \ln\left(\frac{3}{2}\right)
\)
Ответ: \(6 \ln\left(\frac{3}{2}\right)\)

\(y = 4 — x^2, \, a = -2, \, b = 2:\)
\(
S = \int_{-2}^{2} (4 — x^2) \, dx = \left(4x — \frac{x^3}{3}\right)_{-2}^{2}
\)
\(
S = (8 — \frac{8}{3}) — (-8 + \frac{-8}{3}) = 16 — \frac{16}{3}
\)
\(
S = \frac{48}{3} — \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
\)
Ответ: \(10 \frac{2}{3}\)

\(y = \frac{1}{x^2}, \, a = \frac{1}{2}, \, b = 1:\)
\(
S = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx = -\left(\frac{1}{x}\right)_{\frac{1}{2}}^{1}
\)
\(
S = -1 + 2
\)
Ответ: \(1\)

\(y = x^2, \, a = 1, \, b = 2:\)
\(S = \int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left(\frac{x^3}{3}\right)_{1}^{2}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(S = \frac{2^3}{3} — \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} — \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\)
Ответ: \(\frac{7}{3}\)

\(y = x^3, \, a = 0, \, b = 1:\)
\(S = \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left(\frac{x^4}{4}\right)_{0}^{1}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(S = \frac{1^4}{4} — \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} — 0 = \frac{1}{4}\)
Ответ: \(\frac{1}{4}\)

\(y = \cos(x), \, a = \frac{\pi}{6}, \, b = \frac{\pi}{3}:\)
\(S = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos(x) \, dx = \left(\sin(x)\right)_{\pi/6}^{\pi/3}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(S = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) — \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\)
Значения синусов:
\(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\)
\(S = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{3} — 1}{2}\)

\(y = e^x, \, a = -1, \, b = 1:\)
\(S = \int_{-1}^{1} e^x \, dx = \left(e^x\right)_{-1}^{1}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(S = e^{1} — e^{-1} = e — \frac{1}{e}\)
Ответ: \(e — \frac{1}{e}\)

\(y = \sqrt{x}, \, a = 0, \, b = 4:\)
\(S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)_{0}^{4}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(S = \frac{2}{3} (4^{\frac{3}{2}}) — 0\)
Вычисляем \(4^{\frac{3}{2}} = (4^1)^{\frac{1}{2}} = 8\):
\(S = \frac{2}{3} (8) = \frac{16}{3}\)
Ответ: \(5 \frac{1}{3}\)

\(y = \frac{-6}{x}, \, a = -3, \, b = -2:\)
\(S = \int_{-3}^{-2} \frac{-6}{x} \, dx = -6 \ln|x| \big|_{-3}^{-2}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(S = -6 (\ln|{-2}| — \ln|{-3}|)\)
Упрощаем:
\(S = -6 (\ln(2) — \ln(3))\)
Используем свойство логарифмов:
\(\ln(a) — \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\):
\(S = 6 \ln\left(\frac{3}{2}\right)\)
Ответ: \(6 \ln\left(\frac{3}{2}\right)\)

\(y = 4 — x^2, \, a = -2, \, b = 2:\)
\(S = \int_{-2}^{2} (4 — x^2) \, dx = \left(4x — \frac{x^3}{3}\right)_{-2}^{2}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(S = (4(2) — \frac{2^3}{3}) — (4(-2) — \frac{(-2)^3}{3})\)
Вычисляем отдельно каждую часть:
Первая часть: \(4(2) — \frac{8}{3} = 8 — \frac{8}{3} = \frac{24}{3} — \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\)
Вторая часть: \(4(-2) — (-\frac{8}{3}) = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{24}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}\)
Складываем обе части:
\(S = \frac{16}{3} — (-\frac{16}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}\)
Ответ: \(10 \frac{2}{3}\)

\(y = \frac{1}{x^2}, \, a = \frac{1}{2}, \, b = 1:\)
\(S = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{x^2} dx = -\left(\frac{1}{x}\right)_{\frac{1}{2}}^{1}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(S = -\left(\frac{1}{1} — \frac{1}{\frac{1}{2}}\right)\)
Упрощаем:
\(S = -(1 — 2)\)
\(S = -(-1)\)
\(S = 1\)
Ответ: \(1\)