ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(y = x^3\), \(y = 8\), \(x = 1\):
\(
S = \int_1^2 (8 — x^3) \, dx = 4.25
\)

2) \(y = 0.5x^2\), \(y = -x\):
\(
S = \int_{-2}^0 (-x — 0.5x^2) \, dx = \frac{2}{3}
\)

3) \(y = 4 — x^2\), \(y = 3\):
\(
S = \int_{-1}^1 (1 — x^2) \, dx = \frac{4}{3}
\)

4) \(y = 6 + x — x^2\), \(y = 6 — 2x\):
\(
S = \int_0^3 (3x — x^2) \, dx = \frac{9}{2}
\)

5) \(y = x^2 — 4x + 4\), \(y = 4 — x^2\):
\(
S = \int_0^2 (4x — 2x^2) \, dx = \frac{8}{3}
\)

6) \(y = \frac{3}{x}\), \(y = 3\), \(x = 3\):
\(
S = \int_1^3 (3 — \frac{3}{x}) \, dx = 6 — 3\ln 3
\)

7) \(y = e^{-x}\), \(y = e\), \(x = 0\):
\(
S = \int_0^{\infty} (e — e^{-x}) \, dx = \infty
\)

8) \(y = \frac{5}{x}\), \(x + y = 6\):
\(
S = \int_1^5 ((6 — x) — \frac{5}{x}) \, dx = 12 — 5\ln 5
\)

1) График функции \(y = x^3\) и прямые \(y = 8\), \(x = 1\)

Найдем точки пересечения:
\(
x^3 = 8 \Rightarrow x = 2.
\)

Площадь:
\(
S = \int_1^2 (8 — x^3) \, dx.
\)
Вычисляем:
\(
S = \left( 8x — \frac{x^4}{4} \right)_1^2 = \left( 16 — 4 \right) — \left( 8 — \frac{1}{4} \right) = 12 — 7.75 = 4.25.
\)

2) Парабола \(y = 0.5x^2\) и прямая \(y = -x\)

Найдем точки пересечения:
\(
0.5x^2 + x = 0 \Rightarrow x(0.5x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = -2.
\)

Площадь:
\(
S = \int_{-2}^0 (-x — 0.5x^2) \, dx.
\)
Вычисляем:
\(
S = \left( -\frac{x^2}{2} — \frac{0.5x^3}{3} \right)_{-2}^0 = (0) — \left( -2 + \frac{4}{3} \right) = 2 — \frac{4}{3} = \frac{2}{3}.
\)

3) Парабола \(y = 4 — x^2\) и прямая \(y = 3\)

Найдем точки пересечения:
\(
4 — x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1, 1.
\)

Площадь:
\(
S = \int_{-1}^{1} ((4 — x^2) — 3) \, dx = \int_{-1}^{1} (1 — x^2) \, dx.
\)
Вычисляем:
\(
S = \left( x — \frac{x^3}{3} \right)_{-1}^{1} = (1 — \frac{1}{3}) — (-1 + \frac{1}{3}) = \left( \frac{2}{3} \right) — \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3}.
\)

4) Парабола \(y = 6 + x — x^2\) и прямая \(y = 6 — 2x\)

Найдем точки пересечения:
\(
6 + x — x^2 = 6 — 2x \Rightarrow x^2 — 3x = 0 \Rightarrow x(x — 3) = 0.
\)
Точки: \(x = 0, 3\).

Площадь:
\(
S = \int_{0}^{3} ((6 + x — x^2) — (6 — 2x)) \, dx = \int_{0}^{3} (3x — x^2) \, dx.
\)
Вычисляем:
\(
S = \left( \frac{3x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right)_{0}^{3} = \left( \frac{27}{2} — 9 \right) = \frac{27}{2} — \frac{18}{2} = \frac{9}{2}.
\)

5) Параболы \(y = x^2 — 4x + 4\) и \(y = 4 — x^2\)

Находим точки пересечения:
\(
x^2 — 4x + 4 = 4 — x^2 \Rightarrow 2x^2 — 4x = 0 \Rightarrow 2x(x — 2) = 0.
\)
Точки: \(x = 0, 2\).

Площадь:
\(
S = \int_{0}^{2} ((4 — x^2) — (x^2 — 4x + 4))\, dx.
\)
Упрощаем:
\(
= \int_{0}^{2} (4 — x^2 — x^2 + 4x — 4)\, dx = \int_{0}^{2} (4x — 2x^2)\, dx.
\)
Вычисляем:
\(
S = \left( 2x^2 — \frac{2x^3}{3} \right)_{0}^{2} = (8 — \frac{16}{3}) — (0) = 8 — \frac{16}{3} = \frac{24}{3} — \frac{16}{3} = \frac{8}{3}.
\)

6) Гипербола \(y = \frac{3}{x}\) и прямые \(y = 3, x = 3\)

Найдем точки пересечения:
При \(y=3\):
\(
3 = \frac{3}{x} \Rightarrow x=1.
\)

Площадь:
Площадь будет находиться от \(x=1\) до \(x=3\):
\(
S = \int_1^3 (3 — \frac{3}{x})\, dx.
\)
Вычисляем:
\(
= (3x — 3\ln|x|)_1^3 = (9 — 3\ln(3)) — (3 — 0) = (9 — 3) — (3\ln(3)) = 6 — 3\ln(3).
\)

7) График функции \(y = e^{-x}\) и прямые \(y = e\), \(x = 0\)

Найдем точку пересечения:
\(e^{-x} = e\) не имеет решений для \(x \geq 0\). Мы будем интегрировать от \(x = 0\) до точки, где \(y = e^{-x}\) пересекает прямую \(y = e\). Поскольку \(e^{-x}\) всегда меньше \(e\) для \(x > 0\), то мы просто находим площадь под графиком от \(x = 0\) до некоторой точки. Однако, чтобы найти площадь ограниченной фигурой, необходимо учитывать, что верхняя граница — это линия \(y = e\).

Площадь:
\(
S = \int_0^{\infty} (e — e^{-x}) \, dx.
\)
Вычисляем:
\(
S = \left( e x + e^{-x} \right)_0^{\infty}.
\)
При \(x \to \infty, e^{-x} \to 0\):
\(
S = \lim_{b \to \infty} \left( e b + 0 — (0 + 1) \right) = \infty.
\)

8) Гипербола \(y = \frac{5}{x}\) и прямая \(x + y = 6\)

Перепишем прямую:
\(
y = 6 — x.
\)

Найдем точки пересечения:
\(
\frac{5}{x} = 6 — x.
\)
Умножим на \(x\):
\(
5 = (6 — x)x \Rightarrow x^2 — 6x + 5 = 0.
\)
Решаем квадратное уравнение:
\(
(x — 1)(x — 5) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 5.
\)

Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
— Для \(x = 1: y = 6 — 1 = 5\)
— Для \(x = 5: y = 6 — 5 = 1\)

Теперь можем найти площадь:
\(
S = \int_1^5 \left( (6 — x) — \frac{5}{x} \right) dx.
\)
Вычисляем интеграл:
\(
S = \int_1^5 (6 — x — \frac{5}{x}) \, dx.
\)
Разделим интеграл:
\(
S = \int_1^5 6 \, dx — \int_1^5 x \, dx — \int_1^5 \frac{5}{x} \, dx.
\)
Вычисляем каждый интеграл:
1. \(\int_1^5 6 \, dx = 6(x)_1^5 = 6(5 — 1) = 24.\)
2. \(\int_1^5 x \, dx = \left( \frac{x^2}{2} \right)_1^5 = \frac{25}{2} — \frac{1}{2} = 12.\)
3. \(\int_1^5 \frac{5}{x} \, dx = 5(\ln x)_1^5 = 5(\ln 5 — \ln 1) = 5\ln 5.\)

Теперь подставим в формулу для площади:
\(
S = 24 — 12 — 5\ln 5 = 12 — 5\ln 5.
\)